P59330-[清华集训2012]串珠子【状压dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5933

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题目大意

$n$个点的一张无向图，求所有联通子图的权值乘积和

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解题思路

因为$n$很小，考虑状压
设$f_i$表示点集为$i$时的方案数，我们发现正着做十分麻烦，考虑容斥。
首先定义$mu{l}_i$表示点集$i$的所有子图的方案数，那么显然有$mu{l}_i={\prod }^{x,y\in i,x<y}(a_{x,y}+1)$
枚举一个集合$s$有转移方程，选出一个点$p$一定在联通图内，这里状压为只有一个点$p$的集合$$f_s=mu{l}_s-\sum _{i\in (s-p)}{f}_{i+p}\ast mu{l}_{s-p-i}$$
时间复杂度$O(3^n)$

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$code$

#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=17,XJQ=1e9+7;
ll n,mul[1<<N],f[1<<N],a[N][N];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		for(ll j=0;j<n;j++)
			scanf("%lld",&a[i][j]);
	ll MS=1<<n;
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		mul[s]=1;
		for(ll i=0;i<n;i++){
			if(!((s>>i)&1))continue;
			mul[s]=mul[s^(1<<i)];
			for(ll j=i+1;j<n;j++)
				if(((s>>i)&1)&&((s>>j)&1))
					mul[s]=mul[s]*(a[i][j]+1)%XJQ;
			break;
		}
	}
	mul[0]=0;
	for(ll s=1;s<MS;s++){
		f[s]=mul[s];
		ll p=(s&-s),i=s-p;
		for(ll j=i;j>=0;j=(j==0?-1:((j-1)&i)))
			f[s]=(f[s]-f[j+p]*mul[i-j]%XJQ+XJQ)%XJQ;
	}
	printf("%lld",f[MS-1]);
}