LCS

一、LCS的含义

最长公共子序列（Longest common subsequence）：找两个字符串的最长公共子序列，这个子序列在原字符串中可以不连续

最长公共子串（Longest common substring）：找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的

例如，s1=“abcde” s2="bce",则s1和s2的最长公共子序列为“bce”，最长公共子串为"bc"

 

二、最长公共子序列的求解方法和代码实现

典型DP问题

dp[i][j]表示字符串x的前i个字符构成的子串和字符串y的前j个字符构成的子串的最长公共子序列的长度

状态转移方程

 

i=0 or j=0说明有一个字符串的长度为0，因此最长公共组序列长度为0。当字符串x的第i个字符和字符串y的第j个字符相等时，dp[i][j]就等于dp[i-1][j-1]+1，如果不等dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])

C++实现

int dp[1000][1000]
int Lcs(string x,string y)
{
	for(int i=0;i<=x.length();i++)
	  for(int j=0;j<=y.length();j++)
	    if(i==0||j==0)
	      dp[i][j]=0;
	    else if(x[i-1]==y[j-1])
	      dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
	    else
	      dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
	return dp[x.length()][y.length()];
}

三、最长公共子串的求解方法和代码实现

典型DP问题

dp[i][j]表示字符串x的前i个字符构成的子串和字符串y的前j个字符构成的子串的最长公共子串的长度

状态转移方程

因为是连续的，所以如果两个元素不等，那么就等于0

C++实现

int dp[1000][1000]
int Lcs(string x,string y)
{
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=x.length();i++)
	  for(int j=0;j<=y.length();j++)
	    if(i==0||j==0||x[i-1]!=y[j-1])
	      dp[i][j]=0;
	    else{
	       dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
	       ans=max(ans,dp[i][j]);
		}
	return ans;
}

练习：

51Nod_1006 最长公共子序列Lcs