扔骰子的一道概率题

题目：一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1,2,3都至少出现一次？

思路：对于一次实验，1的概率是1/6, 2的概率是1/3, 3的概率是1/2。

我的方法： 把它独立的当做是 三个过程 。几何分布的期望EX=1/p，方差DX=（1-p）/p^2。

第一轮是必然事件，“第一次出现X值”（显然第一回扔骰子就会出现一个X），期望值为1；

第二轮几何分布是“第一次出现新的值Y（之前都是X）”；

第三轮几何分布是“第一次出现另外一个新的值Z”；

3种大情况，每种大情况内又有2种大情况：

1、X为1，其概率为1/6

第二轮的p=5/6，第一轮的期望是6/5

第三轮，Y为2的概率是2/5，Y为3的概率是3/5

若Y为2，则Z=3 第三轮的p=1/2，期望是2

若Y为3，则Z=2 第三轮的p=1/3，期望是3

其期望是6/5+4/5+9/5=3.8

2、X为2，其概率为1/3

第二轮的p=2/3，第一轮的期望是3/2

第三轮，Y为1的概率是1/4，Y为3的概率是3/4

若Y为1，则Z=3 第三轮的p=1/2，期望是2

若Y为3，则Z=1 第三轮的p=1/6，期望是6

其期望是3/2+2/4+18/4=6.5

3、X为3，其概率为1/2

第二轮的p=1/2，第一轮的期望是2

第三轮，Y为1的概率是1/3，Y为2的概率是2/3

若Y为1，则Z=2 第三轮的p=1/3，期望是3

若Y为2，则Z=1 第三轮的p=1/6，期望是6

其期望是2+1+4=7

那么综合起来：1+6.3=7.3

为什么第一次要单独拿出来作为第一轮？

    几何分布的期望是包括第一次就射箭成功的情况的。所以有可能是第二回扔骰子就出现了Y值，这对于几何分布来讲属于第一次试验就成功，如果我把第一回扔骰子归到第二轮几何分布，就漏掉了这种情况。因此我不能把第一回扔骰子算进去，应该从第二次实验才开始进行第二轮几何分布。

因此实际上是三个过程：

第1轮，就是第一次必然事件，必定的出现了X。期望是1。

第2轮，几何分布，是“第一次出现新的值Y（之前都是X、或者第一次就是Y）”。

第3轮，几何分布，是“第一次出现另外一个新的值Z（之前都是X或Y、或者第一次就是Z）”

所以最终结果是7.3次。

概念回顾：

二项分布：n次重复试验成功的次数。

期望：E = np
方差:D = npq

几何分布：重复试验第一次成功时的试验次数。

期望： E =1/p

方差： D =（1-p）/p^2