[luogu 1052] 过河 {动态规划+路径压缩}

题目

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1052

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结题思路

step 1理解题意
在做这道题之前，一定要理解好题意，有一个需要特别注意注意的地方：
青蛙不是一定要跳到石头上[嗯…这一点坑了我好久]而是指青蛙尽量不踩石头的情况下还要跳到多少个石头上[语文渣求原谅]。
step 2状态转移方程
这是一个比较简单方程式。
首先设f[i]为在i点上的最少踩石子数则在前面(i-s)到(i-t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取 f[i−s]−f[i−t] f [ i − s ] − f [ i − t ] 之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
因此我们可以写出状态转移方程式: f[i]=min(f[i−j]+flag[i] | s<=j<=t) f [ i ] = m i n ( f [ i − j ] + f l a g [ i ]   |   s <= j <= t )
step 3路径压缩
实际上，这题还没完呢…如果我们定义一个f[10^9]的数组，这肯定是会爆内存的——所以…[我就放弃了这道题][额，可能吗]..因此我们需要使用一种方法，使得这里采用一种最合适的方法——路径压缩(其实还有其他更(bu)优(kao)秀(pu)方法的)，目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。[前方高能,请数学学科恐惧症患者尽快撤离!!]:
假设每次走p或者p+1步.我们知道 gcd(p,p+1) g c d ( p , p + 1 )
由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：
px+(p+1)y=gcd(p,p+1) p x + ( p + 1 ) y = g c d ( p , p + 1 ) 是有整数解的，即可得： px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 是一定有整数解的。
设 px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 的解为： x=x0+(p+1)t,y=y0−pt x = x 0 + ( p + 1 ) t , y = y 0 − p t 。令 0<=x<=p 0 <= x <= p (通过增减t个p+1来实现)， s>p∗(p+1)−1 s > p ∗ ( p + 1 ) − 1 ,
则有： y=s−pxp+1>=s−p2p+1>p∗(p+1)−1−pxp+1>=0 y = s − p x p + 1 >= s − p 2 p + 1 > p ∗ ( p + 1 ) − 1 − p x p + 1 >= 0
即表示，当 s>=p∗(p+1) s >= p ∗ ( p + 1 ) 时， px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 有两个非负整数解，每次走p步或者p+1步， p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) 之后的地方均能够到达。
如果两个石子之间的距离大于 p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) ，那么就可以直接将他们之间的距离更改为 p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) 。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离 >t∗(t−1) > t ∗ ( t − 1 ) ，则将他们的距离更改为 t∗(t−1) t ∗ ( t − 1 ) 。
因为t<=10t<=10，因此我们可以直接将大于10*9的距离直接化为90.
但是要注意，对于s=ts=t这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走p+1步的，因此需要另外特殊判断。
方程如下:
f[i]=f[i−1]+(i mod s==0) f [ i ] = f [ i − 1 ] + ( i   m o d   s == 0 )

转载至：https://blog.csdn.net/qq_34940287/article/details/77494073

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代码

#include
#include
#include
using namespace std; 
const int inn=100001; 
int f[inn],a[inn],flag[inn],w,s,t,n,m,ans=100000000; 
int main()
{
    scanf("%d",&m);
    memset(f,123/2,sizeof(f)); 
    scanf("%d%d%d",&s,&t,&n);
    if (s==t)
    {
        m=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) 
         scanf("%d",&w),m+=((w%t)==0); 
         printf("%d",m); return 0; 
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)  
     scanf("%d",&a[i]);     
    sort(a+1,a+n+1);
    f[0]=0; w=min(m-a[n],100); m=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)  
     m+=min(a[i]-a[i-1],90),flag[m]=1; 
     m+=w; 
    for (int i=1;i<=m+9;i++)  
     for (int j=s;j<=t;j++) 
        if (i>=j) f[i]=min(f[i],f[i-j]+flag[i]); 
    for (int i=m;i<=m+9;i++) 
     ans=min(ans,f[i]); 
    printf("%d",ans); 
}