（一）
一个赌局，抛硬币，如果正面你就给我100元，如果反面我就给你150元，你玩不玩？
对你来说，这个赌局的数学期望是150*50%-100*50%=25元（平均预期收益），挺划算，但很多人不愿意赌，因为风险厌恶（loss aversion),还是有失去100元的风险。
可要连赌一万把，那你还愿不愿意玩呢？当然愿意。大数定律告诉我们，当数据量足够多时，其发生频次将趋近于其理论概率。赌一两把你可能会输，但一万把几乎会把所有波动拉平，你预期收益就是25*10000=25万。
现实生活不可以这么简化，100元对于年收入1000万的人来说其效用和对于年收入10万的人也是不一样的，现实生活也没人跟你赌一万把，现实生活是不可计算的，那个男生看上去可靠帅气，我该不该把身心全部交出去？英语好难，单词记不住，我要不要报个班？
这个思想实验只是告诉你，人生不是一次博弈而是重复博弈，在你跌倒一次又不至于死去之前，只要其数学期望值是正的，你就应该一直尝试，正如丹尼尔·卡尼曼在《思考，快与慢》书里的建议：生活中的确没人跟你连赌一万把，但是你可以把一生之中大大小小的概率选择当成一个系统来全盘考虑。只要每一次遇到数学期望为正的时候你都选择赌，那么长期看来，你必然是赢的。
你要像商人一样去思考，按照概率下注，不要过多纠结于沉没成本，不要在乎一朝一夕，你要的是一生一世。
“老百姓关心具体事件的成败，高手关注的是一个概率系统。只要我这个系统合理，那么具体事件结果都是偶尔波动，长期看我一定是赢。”
--万维钢
（二）
有一个赢2赔1的赌局，扔硬币下注，如果正面就翻倍，反面就输掉本金，你总赌资为100元，每次下注都可投入任意金额，那你怎么赌呢？
如果你喜欢冒险，可能会选择干脆玩把大的，100元全押上，输就输个精光，赢就挣笔大的！如果你偏保守，会谨慎点，细水长流慢慢来，一次只玩一块钱。每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。但玩了20把，又觉得辛辛苦苦半天都不如人家一次20元赢的多，太憋屈。
100太多1块太少，那该投入多少比例下注呢？凯利判据告诉你答案：
f* =（bp-q）/ b
在公式中，各参数意义为：
f* = 应投注的资本比值
p = 获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率）
q = 失败的概率，即1 - p（也就是硬币反面的概率）
b = 赔率，等于期望盈利 ÷可能亏损（也就是盈亏比）
公式中的分子bp-q代表“赢面”，数学中叫“期望值”，假设赢概率是75%，奖励80，输概率25%，惩罚150，那么其数学期望值就是：75%*80-25%*150=22.5.
代入公式，抛硬币每次应该投入(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%，即每次你应该投入总赌资的25%，25元。凯利判据告诉我们要通过选择最佳投注比例，才能长期获得最高收益，以避免屁股输得精光。
公式如此优美，含义却很难吃透。什么时候要全部all in呢？要是赢了不止2倍呢？10倍，100倍，1000倍如何？算算，即使1000倍，你最大下注比例也才为0.4995.只要概率不变，多大盈亏比你都不应该全部下注，一直all in 你总有一把全部赔光。
（三）
赌场中庄家优势最小的赌局是21点，庄家只赢玩家0.4%，大约50.2%，玩家大约49.8%的胜率，所以你知道为什么长期来看，十赌九输了吧。
你相信运气，赌场相信概率。大部分人却想用心存侥幸去战胜赌场，殊不知赌场背后是你撼动不了的概率计算。即使告诉你算牌规则，大多数人仅限于个位数的运算能力也不够上线使用。
《决胜21点》是讲述一群MIT学生战胜赌场的电影，其真实原型来自于麻省理工学院的爱德华•索普教授。
21点规则变化很多，但简单说，庄家轮流发牌，谁率先超过21点，就爆掉，剩者赢。
当点数小于17点时，庄家必须继续要牌，而玩家则可选择要还是不要。此时，若是之前出现的都是小牌，那么剩下的排堆里大牌就比较多，庄家爆掉的可能性就比较大，玩家此时就应该加大筹码。
大神索普琢磨出了一套算牌技巧，以大于50%的概率猜出庄家手里的牌数，就靠这仅仅的几个概率点再配合凯利公式优化自己每次最优下注比例，持续下注，他战胜了赌场。
简单说，索普大神遵循的是：胜算大时出重手，胜算小时就下小手。
用预期收益/赔率是对赌场人士而言，对于普通民众，其普世意义就是用优势/劣势。在一个局里，看你有没有优势，如果预期收益为正，你可以继续玩，理性下注保持坐在桌子上继续玩下去的可能，耗到对手死亡。如果你劣势较大，预期收益为负，人为刀俎，你为鱼肉，绝不能玩。
（四）
人生漫长，并非一次博弈，是一连串事件的选择。找准你认为对的事，持续做，做到你积累的优势别人无法再忽视，也无法再追赶。找到一个长坡，上面有略微湿润的雪，团起你的小雪球，顺势推下。
那什么事情又值得all in 呢？
我想，学习总在名单之列。不仅要all in 投入，还要加杠杆，正如索罗斯曾说：对高确定性的交易，要直取咽喉，不仅要投入自己的身家性命，还要借钱来赌。所以才有了保尔逊基金2007做空美国次贷，狂赚40亿美金的传奇。
而在你没有把握的地方，要永远谨慎地乐观，不要被赶下牌桌，赢局再大，也与你无关，正如罗斯福曾说“荣誉属于真正置身于竞技场上的人。”
最后，借用一句话“笃信加上耐心，才有可能帮你熬过偶然的失落，等到必然的好运。”
参考得到万维钢、王烁专栏、老喻微信公号“孤独大脑”。