【SDOI2013】保护出题人

【SDOI2013】保护出题人

【题目描述】

出题人铭铭认为给SDOI2012出题太可怕了，因为总要被骂，于是他又给SDOI2013出题了。
参加SDOI2012的小朋友们释放出大量的僵尸，企图攻击铭铭的家。而你作为SDOI2013的参赛者，你需要保护出题人铭铭。
僵尸从唯一一条笔直道路接近，你们需要在铭铭的房门前放置植物攻击僵尸，避免僵尸碰到房子。第一关，一只血量为a1点的僵尸从距离房子x1米处匀速接近，你们放置了攻击力为y1点/秒的植物进行防御；第二关，在上一关基础上，僵尸队列排头增加一只血量为a2点的僵尸，与后一只僵尸距离d米，从距离房子x2米处匀速接近，你们重新放置攻击力为y2点/秒的植物；……；第n关，僵尸队列共有n只僵尸，相邻两只僵尸距离d米，排头僵尸血量为an排第二的僵尸血量an-1，以此类推，排头僵尸从距离房子xn米处匀速接近，其余僵尸跟随排头僵尸同时接近，你们重新放置攻击力为yn点/秒的植物。
每只僵尸直线移动速度均为1米/秒，由于植物设计速度远大于僵尸移动速度，可忽略植物子弹在空中的时间。所有僵尸同时出现并接近，因此当一只僵尸死亡后，下一只僵尸立刻开始受到植物子弹的伤害。
游戏得分取决于你们放置的植物攻击力的总和Σyi，和越小分数越高，为了追求分数上界，你们每关都要放置攻击力尽量小的植物。
作为SDOI2013的参赛选手，你们能保护出题人么？

【输入】

第一行两个空格隔开的正整数n和d，分别表示关数和相邻僵尸间的距离。接下来n行每行两个空格隔开的正整数，第i + 1行为Ai和Xi，分别表示相比上一关在僵尸队列排头增加血量为Ai点的僵尸，排头僵尸从距离房子Xi米处开始接近。 

【输出】

一个数，n关植物攻击力的最小总和，保留到整数。

【输入样例】

5 2
3 3
1 1
10 8
4 8
2 3

【输出样例】

7

【数据范围】

对于100%的数据， 1≤n≤10^5，1≤d≤10^12,1≤x≤ 10^12,1≤a≤10^12

【题解】

这道题理解题意很困难，很难想明白为什么要保护出题人。

嗯……

想明白了的话，就会发现每一天只考虑新加入的僵尸是不行的，因为排头僵尸和房子的距离也发生了变化。事实上，我们需要考虑从排头开始，连续打一串前缀僵尸需要的最小攻击力，把a[i]处理为前缀和，那么yi=max{(a[i]-a[j-1])/(x[i]+d*(i-j))},j≤i。根据某神犇的话，这种式子很像斜率的计算公式（(yi-yj)/(xi-xj)的形式），所以先化简、统一下标，则所求式子为(x[i]+d*i,a[i])，(d*j,a[j-1])两点间的斜率。那么问题就转化成了n次询问，每次询问一个点(x[i]+d*i,a[i])，找出其和(d*j,a[j-1])的斜率的最大值(j≤i)。

但如果每次枚举的话，时间复杂度O(n^2)，TLE无误，所以我们需要一点单调性。由于d*j和a[j-1]都是单调递增的，而x[i]+d*i>d*j,a[i]>a[j-1]，所以符合条件的点一定在(d*j,a[j-1])的下凸壳中，用一个单调栈来维护。

求出下凸壳后，明显满足条件的点有且仅有一个，这个点两侧的点斜率都是单调递减的。换句话说，询问点和下凸壳上的点的斜率函数是单峰的，可以考虑整数三分来求解。但是由于我太弱，整数三分肯定跪QAQ所以根据某位神犇的代码，采用二分来找这个点。每次二分的时候，如果发现mid点的斜率比mid-1的斜率大，就把当前的mid记录下来，最后记录的最大值就是所求点了。

【代码】

精度绰绰有余，时间复杂度O(nlogn)。

【SDOI2013】保护出题人#代码