[编程题]单词接龙 欧拉路径 一笔画问题
问题描述
牛客网：
http://www.nowcoder.com/questionTerminal/417f534ca33f4bc7ba8ef716c980f839
拉姆刚开始学习英文单词，对单词排序很感兴趣。
如果给拉姆一组单词，他能够迅速确定是否可以将这些单词排列在一个列表中，使得该列表中任何单词的首字母与前一单词的为字母相同。
你能编写一个程序来帮助拉姆进行判断吗？
输入描述:
输入包含多组测试数据。
对于每组测试数据，第一行为一个正整数n，代表有n个单词。
然后有n个字符串，代表n个单词。
保证：
2<=n<=200,每个单词长度大于1且小于等于10,且所有单词都是由小写字母组成。
输出描述:
对于每组数据，输出”Yes”或”No”
输入例子:
3
abc
cdefg
ghijkl
4
abc
cdef
fghijk
xyz
输出例子:
Yes
No
问题分析
如果是必须按顺序判断，则比较简单，直接判断后一个单词的开头是否能接上上一个单词的结尾即可，如代码1。
如果不按顺序，则是一个“一笔画”问题（欧拉回路），需要建立图的模型求解，如可以查看牛客网的“西电学生”的java代码，贴在了代码2中。
或者参考”Robot_luo”的cpp代码（代码3）。
参考
一笔画问题
有向图的连通性及其分类
算法专题：欧拉回路
连通的无向图 G 有欧拉路径的充要条件是： G中奇顶点（连接的边数量为奇数的顶点）的数目等于0或者2。
连通的无向图 G 是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是：G中每个顶点的度都是偶数。[2]。
一个连通的有向图可以表示为一条从顶点 u到 v的（不闭合的）欧拉路径的充要条件是： u的出度（从这个顶点发出的有向边的数量）比入度（指向这个顶点的有向边的数量）多1，v的出度比入度少1，而其它顶点的出度和入度都相等。
设D=(V,E)为一个有向图。若D的基图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图。若vi,vj∈V ，vi→vj与vj→vi至少成立其一，则称D是单向连通图。若均有vi<->vj，则称D是强连通图。
代码1
#include 代码2
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
while (scan.hasNext()) {
int n = scan.nextInt();
String[] arr = new String[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
arr[i] = scan.next();
System.out.println(canArrangeWords(n, arr));
}
scan.close();
}
public static String canArrangeWords(int n, String[] arr) {
// 26个英文字母看作26个点,用整数0-25来表示
int[][] directedGraph = new int[26][26];// 邻接矩阵表示有向图
int[] inDegree = new int[26]; // 顶点入度
int[] outDegree = new int[26]; // 顶点出度
boolean[] hasLetter = new boolean[26]; // 标记字母是否出现过
boolean hasEuler = true; // 有狭义欧拉路径或欧拉回路标志
for (int i = 0; i < n; i++) {
String word = arr[i];
char firstLetter = word.charAt(0);
char lastLetter = word.charAt(word.length() - 1);
outDegree[firstLetter - 'a']++;
inDegree[lastLetter - 'a']++;
directedGraph[firstLetter - 'a'][lastLetter - 'a'] = 1; // 有向图
hasLetter[firstLetter - 'a'] = true;
hasLetter[lastLetter - 'a'] = true;
}
int startNum = 0;
int endNum = 0;
for (int vertex = 0; vertex < 26; vertex++) {
if (outDegree[vertex] - inDegree[vertex] == 1) // 起点
startNum++;
if (inDegree[vertex] - outDegree[vertex] == 1) // 终点
endNum++;
if (Math.abs(inDegree[vertex] - outDegree[vertex]) > 1) {
hasEuler = false;
break;
}
}
boolean isEulerPath = (startNum == 1 && endNum == 1); // 这里指狭义上的欧拉路径，不包括欧拉回路
boolean isEulerCircuit = (startNum == 0 && endNum == 0);// 欧拉回路
if ((!isEulerPath) && (!isEulerCircuit)) { // 既不是欧拉路径也不是欧拉回路
hasEuler = false;
}
// 判断是否弱连通
int vertexNum = 0; // 点的数量
for (int letter = 0; letter < 26; letter++) {
if (hasLetter[letter]) {
vertexNum++;
}
}
int firstWordFirstLetter = arr[0].charAt(0) - 'a';// 以第一个单词的首字母作为起点
hasEuler = hasEuler && isConnected(firstWordFirstLetter, vertexNum, directedGraph);
if (hasEuler) {
return "Yes";
} else {
return "No";
}
}
// 判断有向图是否弱连通
public static boolean isConnected(int start, int vertexNum, int[][] directedGraph) {
int[][] undirectedGraph = new int[26][26];
// 把有向图转换成无向图
for (int i = 0; i < 26; i++) {
for (int j = 0; j < 26; j++) {
if (directedGraph[i][j] == 1) {
undirectedGraph[i][j] = 1;
undirectedGraph[j][i] = 1;
}
}
}
Queue queue = new LinkedList();
boolean[] passedVertex = new boolean[26];
queue.offer(start);
// 从起点开始进行广度优先搜索，把路过的边都拆掉
while (!queue.isEmpty()) {
int currentVertex = queue.peek();
passedVertex[currentVertex] = true;
queue.poll();
for (int vertex = 0; vertex < 26; vertex++) {
if (undirectedGraph[currentVertex][vertex] == 1 && passedVertex[vertex] == false) {
undirectedGraph[currentVertex][vertex] = 0;
undirectedGraph[vertex][currentVertex] = 0;
queue.offer(vertex);
}
}
}
int passedVertexNum = 0;
for (int vertex = 0; vertex < 26; vertex++) {
if (passedVertex[vertex]) {
passedVertexNum++;
}
}
// 遍历到所有的点，证明无向图是连通的
if (passedVertexNum == vertexNum) {
return true;
} else {
return false;
}
}
}
代码3
这题如果是直接按顺序就很简单，判断下当前单词开头是不是等于前一个单词结尾就行了。
但是如果是可以调换顺序，就变成了一个一笔画的问题，判断是否存在欧拉通路
将单词建成一副图，取出每个单词的第一个字母和最后一个字母，连一条有向边。
然后根据欧拉通路的性质，判断下每个点的入度出度（奇数度的点不能大于2）
最后bfs判断图是否是连通图
#includecin >> str;
int len = strlen(str);
Out[str[0] - 'a']++;
In[str[len - 1] - 'a']++;
g[str[0] - 'a'][str[len - 1] - 'a'] = 1;
g[str[len - 1] - 'a'][str[0] - 'a'] = 1;
if (num[str[0] - 'a'] == 0) num[str[0] - 'a'] = 1;
if (num[str[len - 1] - 'a'] == 0) num[str[len - 1] - 'a'] = 1;
s = str[0] - 'a';
}
int sum1 = 0;
int sum2 = 0;
for (int i = 0; i < 30; i++)
{
if ((In[i] - Out[i]) >=1) sum1++;
if ((In[i] - Out[i]) <= -1) sum2++;
if (abs(In[i] - Out[i])>1) temp = false;
}
if (sum1 >= 2 || sum2 >= 2) temp = false;
int ha = 0;
for (int i = 0; i < 30; i++)
{
if (num[i] == 1) ha++;
}
temp = temp & bfs(s,ha);
if (temp) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;
}
}
小结
总的来说，如果要求有向图存在欧拉路径，首先要是弱连通图。然后，除了起点和终点以外，其他点的入度和出度相等。而且起点的出度比入度大1，终点的入度比出度大1。