最大公约数(Greatest_Common_Divisor)

一、定义

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

二、性质

重要性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律）

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|

gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

如果有附加的一个自然数m,

则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)

gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数，

则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

在乘法函数中有：

gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：

* 两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来

*辗转相除法（扩展版）

和最小公倍数（lcm）的关系：

gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

a与b有最大公约数，

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：

* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。

三、求法

1、辗转相除法(欧几里德算法)

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。

设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数  的步骤如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得 a /b = q...r1(0<=r1) 。

(2)若 r1 =0 ，则(a,b)=b  ；

(3)若 r1 !=0 ，则再用b除以  r1，得 b /r1= q...r2 (0

(4)若 r2=0 ，则 (a,b)=r1 ；若 r2!=0 ，则继续用 r1 除以r2  ，......，如此下去，直到能整除为止。

其最后一个余数为0的除数即为(a,b)的最大公约数。

算法描述

用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数 gcd(a,b) ：

当 a mod b =0  时，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)  ；否则 gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) 递归或循环运算得出结果。

代码：

C++版本一

int gcd(int a,int b)
{ // 约数和倍数不包含0，则遇到0情况则直接排除
    if(0==a||0==b)
        return 0;
    int t=a%b;
    while(t)
    {
        a=b;
        b=t;
        t=a%b;
    }
    return b;
}

 C++版本二

int Gcd(int m, int n) //辗转相除法，求最大公约数
{
	return m == 0 ? n : Gcd(n % m, m);
}
 
int Lcm(int m, int n) //最小公倍数
{
	return (m * n / Gcd(m, n));
}

C++版本三

ll GCD(ll a,ll b){while(b^=a^=b^=a%=b);return a;}

 

2、Stein算法

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2

算法步骤

1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束

2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束

3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束

4、设置A1=A、B1=B和C1=1

5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn

9、n加1，转1

代码：

int gcd(int a ,int b)
{
	if(a < b)
	{//arrange so that a>b
		int temp = a;
		a = b;
		b=temp;
	}
	if(0 == b)//the base case
		return a;
	if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0)//a and b are even
		return 2 * gcd(a / 2, b / 2);
	if ( a % 2 == 0)// only a is even
		return gcd(a / 2, b);
	if ( b % 2 == 0 )// only b is even
		return gcd(a, b / 2);
 
	return gcd((a + b) / 2, (a -b ) / 2);// a and b are odd
}

 

3、分解质因数

四、例题

http://oj.acm.zstu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=3703&pid=9（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/82899925）

五、参考文章

https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6607707

https://blog.csdn.net/C_acgl/article/details/82528192

https://blog.csdn.net/aime521/article/details/51891907