抽象代数学习笔记一《引论章》
抽象代数学习笔记一《引论章》
学习笔记参考：《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著
注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理
一、三句重要的话
1、代数问题的特点是对一类问题利用统一的运算性质求出所有可能的解答。
2、在解决代数问题的过程中，人们常常主动地把与此问题有关的对象（某个有特定关系的集合）组织成一个可运算的系统，研究它的运算性质，并用以解决问题。
3、抽象的代数运算系统的定义方式：给定一个抽象的集合，在其中定义一些运算，满足一些运算法则；这些称为公理，一组公理就定义一种代数运算系统，然后在这些公理的基础上来研究代数运算系统的运算性质。
二、两个小定义
1、定义1：笛卡尔积
对集合 A A A、 B B B，作集合 { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \{ (a,b)|a\in A,b \in B \} {(a,b)∣a∈A,b∈B}，称为 A A A 与 B B B 的集合积或笛卡尔积，记为 A × B A \times B A×B
2、定义2：二元运算
A A A 是一个非空集合，集合积 A × A = { ( a , b ) ∣ a , b ∈ A } A \times A =\{ (a,b)|a,b \in A \} A×A={(a,b)∣a,b∈A} 到 A A A 的一个映射就称为 A A A 的一个代数运算；也常称为 A A A 的一个二元运算，或简称为 A A A 的一个运算 。
三、三个核心定义
1、定义3：域
设 F F F 是至少包含两个元的集合，在 F F F 中有两个代数运算：
加法： ∀ a , b ∈ F \forall a,b \in F ∀a,b∈F， ∃ \exists ∃ 唯一 c ∈ F c \in F c∈F 与之对应， c c c 被称为 a a a 与 b b b 的和， c = a + b c = a+b c=a+b；
乘法： ∀ a , b ∈ F \forall a,b \in F ∀a,b∈F， ∃ \exists ∃ 唯一 d ∈ F d \in F d∈F 与之对应， d d d 被称为 a a a 与 b b b 的积， d = a b d = ab d=ab；
若上述两个运算还满足：
Ⅰ、① 加法交换律： a + b = b + a a+b=b+a a+b=b+a， ∀ a , b ∈ F \forall a,b \in F ∀a,b∈F
② 加法结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c)， ∀ a , b , c ∈ F \forall a,b,c \in F ∀a,b,c∈F
③ F F F 中有一个零元 0 满足： a + 0 = a a+0=a a+0=a， ∀ a ∈ F \forall a \in F ∀a∈F
④ 对 F F F 中任一元 a a a ，有 F F F 的元 b b b ，使得： a + b = 0 a+b=0 a+b=0 ， b b b 称为 a a a 的一个负元
Ⅱ、① 乘法交换律： a b = b a ab=ba ab=ba， ∀ a , b ∈ F \forall a,b \in F ∀a,b∈F
② 乘法结合律： ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)， ∀ a , b , c ∈ F \forall a,b,c \in F ∀a,b,c∈F
③ F F F 中有一个单位元 1 满足： 1 a = a 1 = a 1a=a1=a 1a=a1=a， ∀ a ∈ F \forall a \in F ∀a∈F
④ 对 F F F 中任意非零元 a a a ，有 F F F 的元 b b b ，使得： a b = b a = 1 ab=ba=1 ab=ba=1 ， b b b 称为 a a a 的一个逆元
Ⅲ、乘法对加法的分配律： a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac a(b+c)=ab+ac， ( b + c ) a = b a + c a (b+c)a=ba+ca (b+c)a=ba+ca， ∀ a , b , c ∈ F \forall a,b,c \in F ∀a,b,c∈F
这时我们称 F F F 为一个域 。
2、定义4：环
设 R R R 是非空集合，在 R R R 上有两个代数运算：
加法： ∀ a , b ∈ R \forall a,b \in R ∀a,b∈R， ∃ \exists ∃ 唯一 c ∈ R c \in R c∈R 与之对应， c c c 被称为 a a a 与 b b b 的和， c = a + b c = a+b c=a+b；
乘法： ∀ a , b ∈ R \forall a,b \in R ∀a,b∈R， ∃ \exists ∃ 唯一 d ∈ R d \in R d∈R 与之对应， d d d 被称为 a a a 与 b b b 的积， d = a b d = ab d=ab；
若上述两个运算还满足：
Ⅰ、① 加法交换律： a + b = b + a a+b=b+a a+b=b+a， ∀ a , b ∈ R \forall a,b \in R ∀a,b∈R
② 加法结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c)， ∀ a , b , c ∈ R \forall a,b,c \in R ∀a,b,c∈R
③ R R R 中有一个零元 0 满足： a + 0 = a a+0=a a+0=a， ∀ a ∈ R \forall a \in R ∀a∈R
④ 对 R R R 中任一元 a a a ，有 R R R 的元 b b b ，使得： a + b = 0 a+b=0 a+b=0 ， b b b 称为 a a a 的一个负元
Ⅱ、① 乘法结合律： ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)， ∀ a , b , c ∈ R \forall a,b,c \in R ∀a,b,c∈R
② R R R 中有一个单位元 1 满足： 1 a = a 1 = a 1a=a1=a 1a=a1=a， ∀ a ∈ R \forall a \in R ∀a∈R
Ⅲ、乘法对加法的分配律： a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac a(b+c)=ab+ac， ( b + c ) a = b a + c a (b+c)a=ba+ca (b+c)a=ba+ca， ∀ a , b , c ∈ R \forall a,b,c \in R ∀a,b,c∈R
这时我们称 R R R 为一个环 。
注意：
a、环中不要求有多于两个元；
b、环中乘法不要求满足交换律；若满足，则称之为交换环；
c、我们的定义中规定环中一定有乘法单位元，但不少书中定义的环不要求有乘法单位元，比我们这里的概念更广（例如：全体偶数构成的环没有单位元）；若环中有乘法单位元，则称之为有单位元环（幺环）；
d、环中即使有乘法单位元，也不一定对每个非零元都有逆元（例如：非零方阵不都有逆矩阵）；若环中有乘法单位元且对每个非零元都有逆元，则称之为除环，或称斜域；
e、 R R R 由单独一个数 0 组成，在通常数的加法和乘法下就作成一个环，称该环为零环 。
3、定义5：群
设 G G G 是非空集合，在 G G G 上有一个代数运算：
乘法： ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀a,b∈G， ∃ \exists ∃ 唯一 d ∈ G d \in G d∈G 与之对应， d d d 被称为 a a a 与 b b b 的积， d = a b d = ab d=ab；
若上述一个运算还满足：
Ⅰ、① 乘法结合律： ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)， ∀ a , b , c ∈ G \forall a,b,c \in G ∀a,b,c∈G
② G G G 中有单位元 e e e 满足： e a = a e = a ea=ae=a ea=ae=a， ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀a∈G
③ 对每个 a ∈ G a \in G a∈G ，有 G G G 的元 b b b ，使得： a b = b a = e ab=ba=e ab=ba=e ， b b b 称为 a a a 的一个逆元
这时我们称 G G G 为一个群 。
注意：
a、当群 G G G 的运算满足交换律时，称 G G G 为交换群，或称为阿贝尔群；这时也常把其运算记成加法，并称它是一个加（法）群；加群中零元相当于乘法群中的单位元，负元相当于乘法群中的逆元 ；
b、群的单位元唯一，常记为 1 或 e e e ；群中每个元的逆元唯一， a a a 的逆元记为 a − 1 a^{-1} a−1 ；群满足消去律： a b = a c ab=ac ab=ac，则 b = c b=c b=c ；
c、对于加群，上述结论成为：零元唯一，记为 0 ；负元唯一， a a a 的负元记为 − a -a −a；加法满足消去律。
四、域、环、群的其它知识点
1、定义6：
R R R 是环， a ∈ R a \in R a∈R， a ≠ 0 a \neq 0 a=0，若有 b ≠ 0 b \neq 0 b=0，使 a b = 0 ab=0 ab=0（或 b a = 0 ba=0 ba=0），则称 a a a 是 R R R 中的一个左（或右）零因子 。
2、命题1：
域 F F F 对于自身的加法成为一个交换群，且没有零因子，故 F ∗ = F \ { 0 } F^{\ast}=F \backslash \{0\} F∗=F\{0} 对于 F F F 的乘法运算也成为一个交换群 。
对于环 R R R， R R R 对于自身的加法成为交换群；由于不要求 R R R 中的元有逆元，故 R ∗ = R \ { 0 } R^{\ast}=R \backslash \{0\} R∗=R\{0} 对乘法不一定成群 。
3、定义7：
非空集合 S S S 上有一个代数运算称为乘法，适合结合律，就称为半群；若此运算有单位元，则称 S S S 为幺半群 。
环关于其加法构成交换群，关于其乘法构成幺半群；域在其乘法下成为幺半群 。
4、两个小注释：减法与除法
① 在加群和域可以定义减法：对于任意两个元素 a a a 和 b b b，令 a − b = a + ( − b ) a-b=a+(-b) a−b=a+(−b) ；对于方程 a + x = b a+x=b a+x=b 有唯一解 x = ( − a ) + b = b − a x=(-a)+b=b-a x=(−a)+b=b−a ；对于负元素有 − ( − a ) = a -(-a)=a −(−a)=a 。
② 对于乘法群中任意元或域中任意非零元 a a a ，可以去除群或域中的任意元 b b b ：对于任意两个元素 a a a 和 b b b，令 b ÷ a = b a − 1 b \div a=ba^{-1} b÷a=ba−1 ；方程 a x = b ax=b ax=b 有唯一解 x = a − 1 b x=a^{-1}b x=a−1b ；对于逆元素有 ( a − 1 ) − 1 = a (a^{-1})^{-1}=a (a−1)−1=a 。
5、广义结合律：
域、环、群以及半群中的加法和乘法都满足结合律；即有性质 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c)， ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc) ；若有 n n n 个元 a 1 , ⋯ , a n a_1, \cdots ,a_n a1,⋯,an 的序列（ n ≥ 3 n \geq 3 n≥3），对这个序列组合多次二元运算，可作出很多乘积或和；例如 n = 4 n=4 n=4 时，就有如下的各个可能的积： ( ( a 1 a 2 ) a 3 ) a 4 , ( a 1 ( a 2 a 3 ) ) a 4 , ((a_1a_2)a_3)a_4,(a_1(a_2a_3))a_4, ((a1a2)a3)a4,(a1(a2a3))a4, ( a 1 a 2 ) ( a 3 a 4 ) , a 1 ( ( a 2 a 3 ) a 4 ) , a 1 ( a 2 ( a 3 a 4 ) ) (a_1a_2)(a_3a_4),a_1((a_2a_3)a_4),a_1(a_2(a_3a_4)) (a1a2)(a3a4),a1((a2a3)a4),a1(a2(a3a4)) 或和： ( ( a 1 + a 2 ) + a 3 ) + a 4 , ( a 1 + ( a 2 + a 3 ) ) + a 4 , ( a 1 + a 2 ) + ( a 3 + a 4 ) , ((a_1+a_2)+a_3)+a_4,(a_1+(a_2+a_3))+a_4,(a_1+a_2)+(a_3+a_4), ((a1+a2)+a3)+a4,(a1+(a2+a3))+a4,(a1+a2)+(a3+a4), a 1 + ( ( a 2 + a 3 ) + a 4 ) , a 1 + ( a 2 + ( a 3 + a 4 ) ) a_1+((a_2+a_3)+a_4),a_1+(a_2+(a_3+a_4)) a1+((a2+a3)+a4),a1+(a2+(a3+a4)) 实际上能证明其结果是相同的；
我们用 a 1 , ⋯ , a m a_1, \cdots ,a_m a1,⋯,am 表示特殊的一个乘积 ( ⋯ ( ( ( a 1 a 2 ) a 3 ) a 4 ) ⋯ a m − 1 ) a m (\cdots(((a_1a_2)a_3)a_4)\cdots a_{m-1})a_m (⋯(((a1a2)a3)a4)⋯am−1)am ，则有第 6 条的广义结合律 。
6、命题2：
设 S S S 是一个半群， a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an 是 S S S 中 n n n 个元的一个序列；对这个序列组合多次乘法运算所得到的乘积都是相等的 。
7、对群 G G G 中任意一个元 a a a ，及任意一个正整数 n n n ，我们可自然地定义 a a a 的方幂 a n = a a ⋯ a ⏟ n 个 a^n=\underbrace{aa\cdots a}_{n个} an=n个 aa⋯a 我们再定义 a 0 = 1 , a − n = a − 1 a − 1 ⋯ a − 1 ⏟ n 个 a^0=1,a^{-n}=\underbrace{a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}}_{n个} a0=1,a−n=n个 a−1a−1⋯a−1 由广义结合律知对任意整数 m m m 和 n n n 都有性质 a m + n = a m a n , ( a m ) n = a m n , ( a m ) − 1 = a − m a^{m+n}=a^ma^n,(a^m)^n=a^{mn},(a^m)^{-1}=a^{-m} am+n=aman,(am)n=amn,(am)−1=a−m 对于加法群 G G G ，则方幂就成为倍数 n a = a + a + ⋯ + a ⏟ n 个 na=\underbrace{a+a+\cdots +a}_{n个} na=n个 a+a+⋯+a ( − n ) a = ( − a ) + ⋯ + ( − a ) ⏟ n 个 (-n)a=\underbrace{(-a)+\cdots +(-a)}_{n个} (−n)a=n个 (−a)+⋯+(−a) 0 a = 0 0a=0 0a=0 同样对于任意整数 m m m 和 n n n 都有 m a + n a = ( m + n ) a , m ( n a ) = ( m n ) a , − ( m a ) = m ( − a ) ma+na=(m+n)a,m(na)=(mn)a,-(ma)=m(-a) ma+na=(m+n)a,m(na)=(mn)a,−(ma)=m(−a) 对域和环中元，上面关于倍数的性质都成立；对域中元，前面关于方幂的性质都成立；对环中元，没有负方幂，关于幂的其余性质成立 。
8、定理1：
设 F F F 是一个域，则对于域 F F F 上的行列式理论、多项式理论（包括带余除法、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等）、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换的理论在域 F F F 上都成立；
但对于 F F F 上的二次型相关理论，可能与数域的情况不同，如 F = Z 2 F=Z_2 F=Z2 。
9、补充定义：子群
如果群 G G G 的非空子集合 H H H 对于 G G G 的运算也成为一个群，那么 H H H 称为 G G G 的子群。
课后习题
1、判断下列哪些是集合 A A A 上的代数运算：
（1） A = A= A= 所有实数， A A A 上的除法；
（2） A A A 是平面上全部向量，用实数和 A A A 中向量作数量乘法（倍数）；
（3） A A A 是空间全部向量， A A A 中向量的向量积（或外积，叉乘）；
（4） A = A= A= 所有实数， A A A 上的一个二元实函数；
2、给定集合 F 2 = { 1 , 0 } F_2=\{1,0\} F2={1,0} ，定义 F 2 F_2 F2 上两个代数运算加法和乘法，用下面的加法表，乘法表来表示：
+ 0 1 0 0 1 1 1 0 \begin{array}{c|lcr}+ & 0 & 1 \\\hline0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{array} +01001110 × 0 1 0 0 0 1 0 1 \begin{array}{c|lcr}\times & 0 & 1 \\\hline0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{array} ×01000101
例如，0+1=1，在加法表中 + 号下的 0 所在的行与 + 号右边的 1 所在的列相交处的元就是 1；1×0=0，在乘法表中 × 号下的 1 所在的行与 × 号右边的 0 所在的列相交处的元是 0 ；
试验证上述加法、乘法都有交换律、结合律，且乘法对于加法有分配律；
3、设 R R R 是环，证明下述性质： ∀ \forall ∀ a , b , c ∈ R a,b,c \in R a,b,c∈R
（1） a + b = a a+b=a a+b=a，则 b = 0 b=0 b=0； （2） − ( a + b ) = ( − a ) − b -(a+b)=(-a)-b −(a+b)=(−a)−b；
（3） − ( a − b ) = ( − a ) + b -(a-b)=(-a)+b −(a−b)=(−a)+b； （4） a − b = c a-b=c a−b=c，则 a = c + b a=c+b a=c+b；
（5） a 0 = 0 a0=0 a0=0； （6） − ( a b ) = ( − a ) b = a ( − b ) -(ab)=(-a)b=a(-b) −(ab)=(−a)b=a(−b)；
（7） ( − a ) ( − b ) = a b (-a)(-b)=ab (−a)(−b)=ab； （8） a ( b − c ) = a b − a c a(b-c)=ab-ac a(b−c)=ab−ac；
4、 R R R 是环， a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R ， a , b a,b a,b 交换，证明二项定理： ( a + b ) n = a n + C n 1 a n − 1 b + ⋯ + C n k a n − k b k + ⋯ + b n (a+b)^n=a^n+C^1_na^{n-1}b+\cdots+C^k_na^{n-k}b^k+\cdots+b^n (a+b)n=an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+bn 其中 C n k = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) 1 ∙ 2 ∙ ⋯ ∙ k C^k_n=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\bullet2\bullet \cdots \bullet k} Cnk=1∙2∙⋯∙kn(n−1)⋯(n−k+1)
5、 R R R 是环， a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R ，证明： c ( 1 − a b ) = ( 1 − a b ) c = 1 ⇒ ( 1 − b a ) d = d ( 1 − b a ) = 1 c(1-ab)=(1-ab)c=1\Rightarrow(1-ba)d=d(1-ba)=1 c(1−ab)=(1−ab)c=1⇒(1−ba)d=d(1−ba)=1 其中 d = 1 + b c a d=1+bca d=1+bca ；即若 1 − a b 1-ab 1−ab 在 R R R 内可逆，则 1 − b a 1-ba 1−ba 也可逆；元 1 + a d b 1+adb 1+adb 等于什么？
参考答案如下：