图论专题总结

P.S. 这篇主要是自己记记玩玩的，可能只有我一个人看的懂…

图论就这么浩浩荡荡搞了一个多星期…感觉很一般。
随着专题并没有什么思路，这几天跟着大白皮过了一遍，那就随着这个思路再过一遍知识点，复习一遍经典题。

图的一些基础概念无需多说。而图的应用中，最直接的就是搜索。这里重点提及一下隐式图搜索，说白了，就是把题中给定的情况，分离出多种状态，在各个状态中连上边权适合的边，以将其转化成一个图论问题。这种方法的应用非常广泛，一些特性也很值得挖掘。
[UVa 10047 The Motocycle] 朝向和底层颜色构成状态。
[LA 4255 Guess] 转化为前缀和，做拓扑。
其实这几次考试中也出现了几次隐式图搜索，但当时并不知道= =

深度优先遍历。深度优先遍历本身是种暴力，也可以计算连通分量等，然而搭配上时间戳DFN和LOW，就变得很神奇了。分别来说：
无向图。无向图的割顶LOW值≥DFN，据此线性时间可找出所有割顶，同时，若割顶的儿子只能连回自己，那割顶与儿子之间的路则为桥；双连通分量，点-双连通分量即常说的双连通分量，指任意两点存在点不相同的路径，边-双连通分量指意两点存在边不相同的路径，可以看出，两个点-双连通分量之间至多有一个公共点；如何求。点-双连通分量：类似于Tarjan,但是把边加入栈，当后代的Low值≥DFN时退栈直到当前边，则退出栈的这些边连接的点属于一个点-双连通分量，边-双连通分量：更简单，删掉所有桥，剩下的连通块分别属于同一个边-双连通分量。
[LA 5135 井下矿工] 对于连通分量性质的考察比较全面。
有向图。强连通分量（SCC）,可用Kosaraju或Tarjan，不再赘述，常用于缩点。
[LA 4287 等价性证明] 得到一个有趣的性质：使一个DAG成为强连通分量的最小边数为min(入度为0点数，出度为0点数)。

图论的构造类也非常有意思，但做题少没办法说出些什么。另外，相关的一些知识，如仙人掌也有所涉猎，再复习下2-SAT:
2-SAT。问题的定义见书，简单来说，就是如果a发生将导致b的发生，就连接a–>b，运用黑白点标记来求解。
以上问题，虽然理论知识是懂了，但题目并是做的很少，以后有时间可以专门做一做，也可以不定时做一做巩固。

下面说讲课的这三个专题。

生成树。（直接复制的前几天的一篇Dairy）我从一个月前接到讲课的任务，不知怎么就选了最小生成树，自己开始搞后，其实发现有很多东西，我适当的加深了难度，然后自己也看了很多题，应该是学的可以。然而我自己懂了之后，发现又两个很严重的问题：我并是没有打过一道题目，而且我并没有想好怎么讲课。其实后面打一本通的时候发现很好打，于是就决定跟进度同步，一起打了。然后就是讲课的问题，自认为ppt上的思路很清晰了，然后主要就做了做特效，做了很久了，之后也没去管它。到今天讲课的时候我发现忘掉好多东西了…应该再看一看的，尤其是开始两道例题，第一问我题目都忘得差不多了，第二问我是也没有太明白，当时也没太管，不过知道它的思路，我就这么强行口糊下去了，之后也口糊了不少地方…总之算比较失败把这次…然而其实我自认为表达能力是比较强的…然后经常就是某个人问题目问别人听不明白问我就明白了…然而这次主要的问题大概就是实在那几天没怎么准备吧…
对于最小生成树的问题，其实很多都是从性质出发衍生出的问题，若是能深度挖掘最小生成树的一些特殊性质，题目应该很好做。
[BZOJ 1601 灌水] 有种很机智的做法，锻炼思维。

最短路。非常明确简单的思路，应用和变化也很多。四个算法都用得到，问题类型有多源最短路，单源最短路，K短路，传递闭包，查分约束，有时配上简单枚举，常用于隐式图搜索。
掌握的都差不多（除K短路），主要还是缺乏练习，以后要通过大量题目来巩固。
[UVa 11374 机场快线] 简单题竟然自己没想出来，立起来提个醒。
[LA 4080 战争和物流] 挖掘最短路树性质。
[POJ　Intervals] 查分约束经典题。
[UVa 11478] 更机智的查分约束。
[UVa 11090] 模型和上题差不多但做的事并不相同。

拓扑排序。还是比较扎实，很多题1A。但对更深层次的应用不熟，比如判负环，可以判断DAG上任意两点是否单向可达，虽然一说就懂，但是还是想不到sad…像什么反向拓扑序，完全不符合正常人的思维啊…
[HNOI 2015 Dishes] 经典题
[HDU 3424 Triangle LOVE] 有趣的性质
[POJ 2762 Going from u to v … to u?]判断DAG上任意两点是否单向可达
图论的这些题与DAG,DP也都结合紧密。

另外的。
原准备涉猎一点二分图和网络流，然而急急忙忙开始数学，也只好先标个签以后再说。
二分图和匹配其实看完一半了，判断就是是否有奇圈（定义），或黑白染色。
其他也没什么好讲的了，主要还是做题，巩固。

–By Foggy
2015.6.17 深夜