黎曼传记资料（2010-04-22 22:17:06）
黎曼的数学成就：
一、实、复分析
1.1三角级数
1.2黎曼积分
1854年，黎曼定义了有界函数的积分。
黎曼积分的定义：设M为空间R^n(n<=3)中可度量的几何形体，f(X)是定义在M上的有界函数，将M任意分割为m个可度量的小几何形体M_i(i=1,2,…,m)，它们的度量值记为△M_i。记d=max[1<=i<=m]{△M_i}。￥X_i∈M_i(i=1,2,…,m)，作和式∑[1<=i<=m]f(X_i)△M_i，称此和式为函数f(X)在M上的黎曼和。若极限I=lim[d->0]∑[1<=i<=m]f(X_i)△M_i存在，且与对M的分割方式及点X_i的选择方式无关，则称此极限值I为函数f(X)在M上的黎曼积分，记为I=∫_Mf(X)dM=lim[d->0]∑[1<=i<=m]f(X_i)△M_i，此时称函数在M上是黎曼可积的，记为f(X)∈R(M)。其中，∫是积分号，f(X)是被积函数，M是积分区域，dM是积分元素。
1.3在偏微分方程中他给出了解波动方程的一个重要方法
黎曼-许瓦兹定理
黎曼关于条件收敛级数的定理，通过重排可以得到任何数
二、解析数论
2.1黎曼ζ函数的研究
三、局部微分几何
3.1（拓扑）流形、微分流形、黎曼流形
3.2黎曼度量、黎曼曲率张量
在2维情况下有3个独立的度规函数，剩下1个函数真正表达着空间的内在性质。对于D=2，C=1，M=3这是Gauss所发现的。对于D>2，C>1的情况，几何的描述变得非常复杂。
在D维情况下有M=D(D+1)/2个独立的度规函数。我们可以随意选择D个坐标，从而把D个任意函数关系约束在度规上。剩下C=D(D-1)/2个函数真正表达着空间的内在性质。
在3维情况下有6个独立的度规函数，剩下3个函数真正表达着空间的内在性质。
3.3非欧几何----曲率为0与非0是区别欧氏几何与非欧几何的特征之一
1854年，黎曼（德，1826-1866）《关于几何基础的假设》
常曲率空间=正常曲率（黎曼几何，二重椭圆几何）+负常曲率（罗氏几何、非欧几何，双曲几何）+零曲率（欧氏几何，抛物几何）
四、复几何
4.1黎曼曲面（一维复流形）
1851年，(德)黎曼（G.F.B.Riemann，1826.9.7-1866.7.20）引入了黎曼面概念、保形映射理论，确立了复变函数的几何理论基础。
1857年，黎曼详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数。
1882年，(德)克莱因（C.F.Klein，1849.4.25-1925.6.22）的“代数函数及其积分的黎曼理论”发表，对黎曼面理论做了深刻阐述。
1913年，(德)外尔（C.H.H.Weyl，1885.11.9-1955.12.8）论“黎曼曲面的概念”发表，给黎曼曲面奠定了严格的拓扑基础，引入了复流形的概念。
外尔首先给出黎曼曲面的近代定义。与此同时，他也给出了“流形“这个近代数学的基本概念的严格定义。按照外尔的观点，黎曼曲面就是一维的复流形。----互为反函数的黎曼曲面是一样的吗？？
黎曼曲面的引入大大地开扩了复变函数论的研究范围。
黎曼曲面：
黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。单值解析函数的反函数可以是多值的[应该说一般是多值的]。另外，从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓，最后可能得到不同的元素。因此，完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时,人们先把它分解为一个个单值解析分支，然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。
把z^(1/n)的黎曼曲面按原来的位置放在扩充的复平面上就成了扩充复平面的一个n叶覆盖曲面。曲面上的点0和∞叫做n-1级枝点。
Lnz的黎曼曲面是（除去原点后的）复平面的无枝点的覆盖曲面。
----w=z^n是n-1的，w=e^z是1-1的
一般地说，复平面（或扩充的复平面）的任意一个覆盖曲面都可以看作一个黎曼曲面。设覆盖曲面中的点P位于复平面中的点z上，则称z为P的投影。定义在曲面上的一个函数在非枝点处是否解析，就看它作为投影z的函数是否是解析的；而在投影为z_0的n-1级枝点处，则要看它对于ζ=(z-z_0)^(1/n)是否是解析的。这就是黎曼本人的原始的黎曼曲面的概念。黎曼曲面的经典理论是在这样的概念上发展起来的。
一个完全解析函数或完全解析构形，把其中以z_0为中心的函数元素看作放在z_0上的点，自然就成了扩充平面的覆盖曲面，这就是它的黎曼曲面。一个代数函数w=w(z)的黎曼曲面是扩充平面的n叶覆盖曲面（n为对应的方程中w的最高次数）。
没有枝点的覆盖曲面叫做光滑覆盖曲面。
五、代数几何
关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是“阿贝尔函数论”，一是“论函数的零点”，这是前一篇的续篇，前一篇由四部分构成，是他生前发表最深刻的、有丰富内容的著作。
阿贝尔积分及阿贝尔函数是椭圆积分、超椭圆积分以及椭圆函数、超椭圆函数的推广，所谓阿贝尔积分是指形如∫R(W,Z)dZ的积分，其中R(W,Z)表示W，Z的有理函数，同时W，Z满足代数方程f(W,Z)=0。虽然椭圆积分及超椭圆情形已经得到很好的处理，但是一般情形是当时数学家能力的试金石。----也是复分析和代数几何的核心内容。
正因为如此，黎曼和魏尔斯特拉斯才由于他们研究阿贝尔函数的卓越成果而取得他们在数学界的卓越地位。黎曼正是因为有了黎曼曲面这个工具，才能得心应手解决这方面的问题。
1.阿贝尔积分的表示及分类
黎曼对由f(Z,W)=0定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类。
第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界、线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数N=2p+1，这p个阿贝尔积分称为基本积分。
第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点。
第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点。
每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和。
----勒让德对椭圆积分的分类，黎曼对阿贝尔积分的分类
黎曼还引进相伴曲面观念。设黎曼曲面由F(S,Z)=0定义，F对S是n阶，对Z是m阶，则相伴曲面由Q(S,Z)=0定义，Q对S是n-2阶，对Z是m-2阶，这时第一类阿贝尔积分可表为∫Q(S,Z)dZ/(δF/δS)。
黎曼曲面上的有理函数也可借助相伴曲面来表示。
2.黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch theorem）
这是代数函数论（1857，黎曼）及代数几何学中最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼-罗赫定理的原始形态，黎曼研究的出发点之一是黎曼曲面上指定单极点的亚纯函数的数目，他证明以μ个给定一般点为极点的单值函数形成L=μ-p+1维线性簇，但对于特殊一组m个点，维数L还要增加，因此黎曼得出黎曼不等式L>=μ-p+1。
黎曼的学生古斯塔·罗赫（G.Roch）补充一项使之成为等式，此即代数函数论({<}复分析)和代数几何学({<}复几何)中心定理。把黎曼-罗赫定理推广到代数曲面、高维代数簇、一般代数簇（1954，希策布鲁赫）极为困难。阿蒂亚-辛格指标定理也是它的推广。
3.黎曼矩阵、黎曼点集与阿贝尔函数
每亏格为p的黎曼曲面X上所有一阶全纯形式有一基，ω_1,…, ω_p，X上有2p条互不同伦的闭曲线（同调基）r_1,…,r_2p，造2j[应该是2p吧]个复p维向量π_j=(∫_(r_j)ω_1) …,∫_(r_j)ω_p)∈C^p，j=1,…,2p。
它们在实数域上线性独立，在C^p中生成格Λ，则C^p/Λ是复环面为X的雅可比簇，黎曼通过适当选取(ω_1,…, ω_p)及(r_1,…,r_2p)使2p*p矩阵∏={∏_1,∏_2g}具有{I,B}的形式。
其中I为p*p单位矩阵，B为复对称矩阵，其虚部为正定。这种矩阵∏或B称为黎曼矩阵，它满足黎曼等式及黎曼不等式，称为黎曼周期关系。
黎曼认识到周期关系式非退化阿贝尔函数存在的充分且必要条件，但他既没有表达完全，也没有提供证明。魏尔斯特拉斯尽管花了很大力气，仍未能得出一个完全证明。最后，庞加莱完成了证明（1902）。
4.θ函数及雅可比反演问题
为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比θ函数，引进黎曼θ函数，其定义为g个复变量z_1,…,z_p的函数
θ(z)= θ(z_1,…,z_p;B)=。
其中B=(b_αβ)，α,β=1,…,p。
显然，θ(z)的零点对格子间的平移保持不变。θ(z)的零点集J(x)内的象Θ称为θ除子。
有了θ函数，黎曼定义阿贝尔-雅可比映射A:X->J(X)。
它把x∈X映到(∫[x_0,x]ω_1，…, ∫[x_0,x]ω_p)，其中x_0∈X是选定基点。他证明了下面两个定理：
（1）阿贝尔定理：在黎曼曲面X上指定两组点集(x_1,…,x_k)，(y_1,…,y_k)，x_i≠y_j，i,j=1,…k，则在X上存在一个亚纯函数以(x_1,…,x_k)为零点，以(y_1,…,y_k)为极点的充分必要条件是∑[i=1->k]A(x_i)= ∑[i=1->k]A(y_i)。
阿贝尔原来的定理是关于代数微分的积分的加法定理，黎曼首先认识到它与亚纯函数的关系。----应该叫阿贝尔-黎曼定理更为恰当
（2）阿贝尔函数的雅可比反演定理：如e∈J(x)，W’￠Θ+e且x_1,…,x_p为X上θ(A(x)-e)的零点，则∑[i=1->p]A(x_i)=e-K，其中K是不依赖于e的常数，且(x_1,…,x_p)除顺序之外是唯一的。雅可比反演问题是19世纪最重要问题之一，除了椭圆积分及超椭圆积分情形之外，一直未获解决。魏尔斯特拉斯在1856年解决该问题，但全文一直到1902年才发表。
黎曼晚年的一个成就是证明p=3情形的托雷里（Torelli）定理，即(J(X),Θ)决定X。为此他把θ函数推广成具有特征的θ函数。利用这种广义θ函数及其导数在0点的值即所谓θ常数，就可以定出亏格为p的黎曼曲面所依赖的参数。
5.双有理变换的概念和参模
黎曼对于由两个代数函数F(s,z)=0，F_1(s_1,z_1)=0定义的黎曼曲面，引进了一个等价关系，即双有理等价，也就是通过(s,z)与(s_1,z_1)之间的有理函数一一对应，使F变到F_1或F_1变到F。
----已经研究过的一些重要的例子：高斯的保形变换、局部等距变换；非仿射变换的射影变换；黎曼的非分式线性变换的双有理变换
以后的代数几何学，研究双有理不变量及双有理等价类成为中心课题。对于平面代数曲线，黎曼提出描述亏格为p的双有理等价类集合的问题。黎曼通过v函数推出p>1时这集合依赖于3p-3个任意复常数，他称这些常数为 “类模数”（Klassenmoduln），后简称为“模”或“参模”（Moduli），当参模是“一般的”（即不满足特殊条件）时，黎曼给出该参模等价类中定义方程F(s,z)=0的最小阶数。关于参模的结构的研究是现代数学的热门话题。?
六、拓扑学
七、物理学
他有不少热、光、声、磁、气体理论及流体力学方面的论文。
柯西积分定理的黎曼证明
柯西积分定理
1. 柯西积分定理
2. 重要积分：a为围线c(c可以是圆周也可以是任意围线)内部的一点
∫_Cdz/(z-a)^n=∫_C'dz/(z-a)^n=2pii,n=1;0,n!=1,n∈Z
f(z)在区域D内解析，在~D=D+δD上连续，C=δD，z_0∈D，则∫_Cf(z)dz/(z-z_0)=？
1851年，黎曼在附加假设“f’(z)在D内连续”的条件下，得到了单连通区域的柯西积分定理的如下的简单证明。
黎曼证明：令z=x+iy，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则∮_Cf(z)dz=∮_Cudx-vdy+i∮_Cvdx+udy，而f’(z)在D内连续，则u_x，u_y，v_x，v_y在D内连续，且满足柯西-黎曼方程：u_x=v_y，u_y=-v_x。
由格林公式：∮_Cudx-vdy=∫∫_C(-v_x-u_y)dxdy=0，∮_Cvdx+udy=∫∫_C(u_x-v_y)dxdy=0，从而∮_Cf(z)dz=0。
1900年，古萨（Goursat）免去“f’(z)在D内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法。因此定理又称为柯西-古萨特定理。
----复分析教材和数学分析教材有很多重复的地方，应该浓缩成一本分析教材。
----复分析中定理的证明用到了数学分析中的定理
1.黎曼的博士论文
88.1黎曼论柯西-黎曼方程
88.2黎曼曲面
黎曼在他的博士论文《单复变函数一般理论基础》（1851）中，给出了单值解析函数的严格定义，同时引进现在称为“黎曼曲面”的概念而创建了多值函数研究的宽广领域。黎曼后来在1857年又发表了4篇函数论方面的论文，主要研究黎曼曲面上的阿贝尔积分与阿贝尔函数。黎曼的工作开辟了复变函数论研究的新时代。
88.1黎曼论柯西-黎曼方程
黎曼定义复变函数f(z)=u+iv在一点及其领域内解析，如果u，v连续可微且满足
u_x=v_y,u_y=-v_x
上述方程在黎曼以前已为达朗贝尔、欧拉、柯西等学者所知，特别是柯西，指出这两个方程“包含了由实到虚过渡的全部理论”，因此它们现在以“柯西-黎曼方程”而著称。
但柯西实际上未能明确建立作为复可微性的解析性，黎曼使这两个方程真正成为复变函数论的基石。以下摘录黎曼博士论文中关于柯西-黎曼方程方程的论述，转译自G.Birkhoff(ed.):A Source Book in Classical Analysis,pp.48-50.
令z是一个实变量…。如果对于z的每个值对应着w的一个值，那么称w为z的一个函数。如果当z在一个区间上连续地变动时，w也连续地变动，这个函数就称为在这个区间上是连续的。
这个定义显然不假定任何确定的规则来描述这个函数，因为一旦这个函数在一个给定的区间上被定义，它就可以被任意地延拓到该区间之外。
w对于z的依赖性可以由一规则给出，对于z的每个值由这个规则确定w的相应的值。以前只考虑某类在一个给定的区间中对于z的所有值满足相同的依赖性规则的函数（用欧拉的术语，连续函数）。然而，近年的研究表明存在解析表达式，在一个给定的区间上任意连续函数可以用这样的表达式表示。因而，不管是任意地定义函数，还是用公式定义函数是完全一样的。由于上面所提到的这个定理，这两个概念是等价的。
然而，当z不局限于实值，也包含z=x+iy（这里i=sqrt(-1)）形式的复数时，情形就不同了。
令x+iy和x+iy+dx+idy是z的相差无穷小的两个值，对应于它们的是w的两个值u+iv和u+iv+du+idv。那么，一般而言，比值(du+idv)/(dx+idy)将随dx和dy而变。因为，如果令dx+idy=εe^(iφ)，那么(du+idv)/(dx+idy)=(1/2)(u_x+v_y)+(1/2)(v_x-u_y)+(1/2)[u_x-v_y+i(v_x+u_y)]e^(-2iφ)
但是，无论怎样通过一些简单的代数运算来确定作为z的函数w，导数dw/dz的值总是与dz的特定值无关的。显然，并非复变量z的每个复函数w=f(z)具有这个性质。
对于由显式运算定义的所有函数所共有的特别的性质将被取作为下文的基础，然而我们将从下面的定义开始，而不把定义与由显式运算定义的函数的概念相联系。
复变量w称为另一复变量z的函数[用现代的术语，是解析函数]，如果它的变化使得导数dw/dz的值与dz的值无关。
令z和w是两个复变量。通过空间直观，大致可以把它们在一个连通曲面上变化的情形表现得比较清楚。
映z平面上的点P(x,y)为w平面上的点Q(u,v)的映射。
如果对于z的每个值对应着w的一个值，它随着z连续地变动——换言之，如果u和v是x和y的连续函数——那么可以把w关于z的这个依赖关系想象为从z平面到w平面的一个连续映射。
我们现在来考察当dw/dz与dz无关时这个映射的一些性质。
摘录自斯科特的《数学史》：
黎曼，曾在哥廷根受业于高斯门下，后在柏林学习，在这里接触到一些伟大的数学家，例如狄利克雷、雅可比、施坦纳、爱森斯坦。后来回到哥廷根，他在博士论文“复变函数一般理论基础”中奠定了复变函数一般理论的基础，这篇论文立即确立了他作为第一流数学家的声誉。他曾继狄利克雷在哥廷根担任数学教授，在其就职讲演“几何学的基本假设”（这个题目是高斯建议的）中发展了罗巴切夫斯基和其他人所开辟出的非欧几何体系。但他远远超过了前人，因为他所讨论的空间可以使任意维数的黎曼几何。他还写过椭圆函数方面的著作《椭圆函数：讲义及附录》（1869）和偏微分方程的著作《偏微分方程》（1869），他关于多周期函数的论文（1877）对数学是一个极有价值的贡献。
摘录自中国大百科全书数学卷：
黎曼（1826.9.17-1866.7.20）的著作不多，但却异常深刻，极富于概念的创造与想象。他的主要工作有以下几个方面。
在1851年的博士论文中，论证了复变函数可导的必要充分条件（即现在通称的“柯西-黎曼方程”）。他借助狄利克雷原理阐述了著名的“黎曼映射定理”，成为函数的几何理论的基础。
李文林的《数学史概论》第10章分析的严格化：
正如阿尔福斯所说，这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。
黎曼这篇论文一个突出的特征是其中的几何观点。正是在这里，黎曼引入了一个全新的几何概念，即黎曼曲面。引入这种曲面的出发点在于对多值函数进行研究。黎曼面可以看作是由一些互相适当连接的重叠的平面构成。例如考察多值的[平方根]函数w^2=z[亏格为0的代数曲线]，对于每个z值，一般有w的两个值与之对应。为了研究这个函数并保持两个值集sqrt(z)和-sqrt(z)（或者说函数w^2=z的两个分支）分开，黎曼给每个分支引进一个z值平面，还在每个平面上引进一个点对应于z=∞，将这两个平面看成是一个位于另一个的上方，它们在两个分支给出相同w值的那些z值处，即z=0和z=∞处连接起来。这样w^2=z的这两个平面（或称叶）就构成了[亏格为0的紧]黎曼面。
因此，当z在黎曼面上变动时，w就变为z的一个单值函数。虽然黎曼面是一个几何概念，但它远非是直观的，我们也不可能在三维空间里精确地表示出黎曼面，为此，黎曼的观点还遭遇到了一些同时代人的反对。例如魏尔斯特拉斯就称黎曼面不过是一种“几何幻想物”。----在不讲阿贝尔函数和代数几何的前提下，是不可能讲清楚什么是黎曼曲面的
卡茨的《数学史通论》第16章19世纪的分析：
黎曼的论文《单复变函数一般理论的基础》一开始便讨论了实变和复变函数之间的一个重要区别。虽说函数的定义“对每个（变量z的）值对应于未定量w的一个单值”，可同时用于实和复的情形，但黎曼认识到，在后一种情形即z=x+iy，w=u+iv，定义导数的比值dw/dz的极限很大地依赖于dz是怎样趋向于0的。由于对从代数方式定义的函数人们可以形式地计算导数，并不会发生此类问题，故而黎曼决定把导数的存在性当作复函数概念的一个基础性东西：“当复变量z的变化使得导数dw/dz的值与dz的值无关时，称复变量w为另一个复变量z的函数。”当然，柯西在他对复变函数的整个讨论中也使用了这个观念，但只是在他生涯的最后阶段才把它明确起来。
作为这个定义的第一个应用，黎曼证明了当把这样的复变函数考虑成从z-平面到w-平面的一个映射时它是保角的。这样一个保持角度的映射被叫作一个保形映射。在某种意义上说，欧拉[1768]和高斯[1825]已经知道解析复函数有此性质，但只是黎曼给出了这个论证，而且另外他还能证明黎曼映射定理，它是说复平面上任意两个单连通区域可以用一个适当选取的复函数把它们相互地共形映射到对方。
----这是一个不平凡的存在性定理，没有给出平面到平面的保形映射的复函数的构造方法
然后黎曼推导出了柯西-黎曼方程，所用的方法是借助于两个函数u和v来确定出[w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的]导数的存在性所意味着的东西：
如果这个值dw/dz与dz如何趋向于0无关，那么依次令dx和dy为0并将所得到的表达式的实部和虚部相等便证明了u_x=v_y及u_y=-v_x。反之，如果哲学柯西-黎曼方程得到满足，则可容易算出所求导数为f'(z)=u_x+iv_x，它是与dz无关的值。
黎曼把这些方程和由它们容易得到的第二组偏微分方程u''_x+u''_y=0及v''_x+v''_y=0一起作为复变函数论的中心。
作为例子，黎曼依照柯西在1846年所提出的概述给出了对柯西积分定理的一个详细证明。重要思想是格林定理，黎曼把它叙述为下面的形式：
定理：设X=Q和Y=-P为x，y的两个函数，在有限区域D中连续，以dT表示其无穷小面积元。则
∫∫_T(X_x+Y_y)dT=-∫_S(Xcosξ+Ycosη)ds
其中后一个积分取在T的边界曲线S上，ξ，η代表曲线的内法线分别与x轴和y轴的夹角。
由此推出，格林定理可重新写成
∫∫_T(X_x+Y_y)dT=∫_S(Xdy/ds-Ydx/ds)ds=∫_S(Xdy-Ydx)
令P=-Y，Q=X，则Q_x=X_x，-P_y=Y_y，得∫∫_T(Q_x-P_y)dT=∫_S(Qdy+Pdx)。
88.2黎曼曲面
黎曼曲面也许是黎曼最富有创造性的贡献，它使单变量单值解析函数的理论得以推广到多值函数，而在他以前，只有柯西等少数学者处理过（但未完全理解）多值函数。黎曼曲面的研究在拓扑学历史上也有重要意义。这一概念在黎曼的博士论文中已被提出。以下节录的则是黎曼1857年发表的两篇论文中关于黎曼曲面的论述。两篇论文原文亦载H.Weber(ed.),黎曼全集（1876）。本译文则转译自D.E.Smith(ed.):A Source Book in Math. pp.404-410。
[A]
对许多研究，特别是在代数函数与阿贝尔函数的研究里，以如下方式几何地描绘多值函数的分支模式是很有用的：我们想象……。对这样描绘的分支模式所得曲面上的每一点，多值函数仅有一个确定值。因此这个函数可被认为是在此曲面中点的完全确定的函数。
2.黎曼在1859年的论文
欧拉最先将分析方法引入数论研究。他在1737年导出的恒等式∑[n=1->∞]1/n^s=∏[p][1/(1-1/p^s)](n取遍所有正整数，p取遍所有素数)，在分析与数论之间架起了桥梁。在19世纪，解析数论主要由于狄利克雷和黎曼等人的工作而奠定了蓬勃发展的基础。
在数论领域，黎曼公开发表的唯一一篇论文《论不大于一个给定值的素数个数》（1859），开创了解析数论的新时期。正是在这篇论文中，黎曼将上述欧拉恒等式推广到s为复变量的情形，并记左边的级数为ζ(s)，即现在所称的黎曼ζ函数。黎曼指出了研究复变函数ζ(s)的性质（尤其是零点分布）与研究素数性质之间的联系。从此，黎曼ζ函数不仅成为解析数论的重要基石，同时推动了复变函数论的发展。在同一篇文章中，黎曼还提出了一个猜想：ζ(s)的复零点全部位于直线Re(s)=1/2上，这就是黎曼猜想，至今尚未得到证明。随着近来费马大定理的获证，黎曼猜想作为最著名、最困难的未决数学问题的地位更显突出。
以下摘录黎曼的这篇论文，转译自G.Birkhoff:A Source Book in Classical Analysis,pp.95-98。
在这个研究中我们的出发点是欧拉的考察结果[式子左边黎曼原文中的连乘积部分已被简化。——原注]
∏(1-p^(-s))^(-1)=∑1/n^s，
其中乘积区在所有素数p上；而和是取在所有（正）整数之上。我们用ζ(s)表示这个复变量s的函数，在收敛的情形下它由上面的两个表达式表示。它们仅当s的实部超过1（Re(s)>1）时收敛。但我们容易找到一个始终有效的函数表达式。应用方程[公式中的Γ(s)在黎曼原文中写作Π(s-1)=(s-1)!，因为Γ(s)=Π(s-1)=(s-1)!，而且现在伽马函数比阶乘函数Π(s)=s!更为人们熟知。——原注]
∫[0,∞]e^(-nx)x^(s-1)dx=Γ(s)/n^s
我们首先得到
Γ(s)ζ(s)=∫[0,∞](x^(s-1)/(e^x-1))dx
如果我们现在考虑积分
∫((-x)^(s-1)/(e^x-1))dx
其中积分路线由-∞到+∞按正向绕过一个除0外不含被积函数的间断点的区域，那么容易给出它等于
(e^(-ipis)-e^(ipis))∫[0,∞](x^(s-1)/(e^x-1))dx
这里取定的多值函数(-x)^(s-1)=e^((s-1)log(-x))中，log(-x)是对于负的x为实值的那一支，因此我们有
2sin(pis)Γ(s)ζ(s)=i∫[∞,∞]((-x)^(s-1)/(e^x-1))dx
这就是我们前面要找的表达式。
现在这个方程给出了函数ζ(s)对每个任意复数s的值，并表明了它是单值的，且对除了s=1外的所有有限的s取有限值；它还表明当s是负偶数时ζ(s)为零[ζ(s)的这个性质是应用这个函数的第二个形式2ζ(s)=piiΓ(1-s)·∫[-∞,∞]((-x)^(s-1)/(e^x-1))dx得到的，并且要注意1/(e^x-1)+1/2关于x的幂级数只含有奇次幂。——原注]。
1862年，36岁的黎曼和一个朋友的妹妹结婚，第二年生下一个女儿。40岁去世。他一生著作不多，除了博士论文外，只发表过10篇论文。1876年由戴德金和韦伯主编的《黎曼全集》》（发表论文18篇，遗稿12篇）出版。
他对数学的影响是无可估量的。1953年Dover Publications出版的《黎曼选集》（The Collected Works of Bernhard Riemann）
博士论文《单复变函数的一般理论基础》（1851），有中文版译文，参见历史文献精选88.黎曼：《论复变函数论基础》
《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》（1854，1868年正式发表）
就职演说《关于几何基础中的假设》（1854，1868年出版），有中文版译文，参见历史文献精选73.黎曼：《关于几何基础中的假设》
关于阿贝尔函数的论文（1857）
黎曼回忆录（1857）
《论不超过一个给定值的素数个数》（1859），不到十页，有中文版译文，参见历史文献精选51——黎曼：论黎曼ζ函数
“巴黎之作”（1861），关于热传导的文章
“欧高黎嘉陈”中的黎曼：
微分几何的第一个里程碑，欧拉的工作
微分几何的第二个里程碑，高斯的工作
微分几何的第三个里程碑，黎曼的工作
微分几何的第四个里程碑，黎曼之后，陈省身之前，以老嘉当为代表的一代数学家的工作。
以黎曼命名的数学概念、公式、定理和理论就有n项，如：黎曼积分、黎曼可积、柯西-黎曼方程、黎曼ζ函数、黎曼几何、黎曼流形、黎曼度量、黎曼联络、黎曼截面曲率、黎曼-克里斯托费尔曲率张量、黎曼坐标、黎曼内积、伪黎曼流形、黎曼曲面、黎曼球面、黎曼环面、黎曼映射定理、黎曼单值化定理、黎曼-罗赫定理、黎曼假设、黎曼-西格尔公式、黎曼θ函数
任何阿贝尔函数都可以表示成黎曼θ函数的齐次多项式的比。
黎曼（1857）最先考虑了与黎曼曲面有关的这些函数，黎曼θ函数RT(u|F)最一般形式的定义最早是由Wirtinger（1895）考虑的。
第二十六章 真诚的心灵 黎曼
贫穷但是幸福，黎曼的长时期的羞怯。注定要进教会。得救了。一个著名的猜想。在格丁根的生活。“一种新的数学”。物理研究。拓扑学在分析上的应用。关于几何基础的划时代论文。高斯的热心。贫穷的祝福。张量分析的根。寻求健康。在一棵无花果树下。黎曼在几何学中的里程碑。空间曲率。为相对论开路。
一个像黎曼这样的几何学家几乎已经预见到了现实世界的更重要的特征。
——A.S.Eddington
据说柯尔律只写了很少一点儿最优秀的诗，但是这很少的一点儿应该用金子来装订。对黎曼也有同样的说法，他过于短促的壮年时期的全部数学成果只有8开本的1卷。也可以这样确切地说到黎曼：他对接触到的一切东西都作了一定程度的革新。黎曼是现代最具独创能力的数学家之一，不幸的是他生来体质虚弱，在收获了他多产的头脑的十分之一的金色收成之前就去世了。要是他晚生一个世纪，医学也许能够使他的寿命延长二三十年，数学也就不至于至今还在等待他的后继者了。
格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826.9.17-1866.7.20）是一位路德派牧师的儿子，是6个孩子（2个男孩，4个女孩）中的第二个，他于1826年9月17日出生在德国北部汉诺威一个名叫布雷塞伦茨的小村庄。
在1846年当他被哥廷根大学录取后，黎曼需要在他父亲的允许下才从学习神学和哲学转到学习数学。他的生活是从德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村开始的，这里距离汉堡东南50英里，现在他要到柏林去，因为哥廷根的数学教育不是特别强。1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克雷、施泰纳、艾森斯坦的学生。在柏林，黎曼遇见了狄利克雷，并以他为导师。几年之后的1849年，他返回了哥廷根师从高斯学习并于1851年得到了博士学位。他进行了两年的研究工作并为他在哥廷根大学取得教学资格的演讲作准备。1857年，他被任命为副教授。两年之后的1859年，由于其间也来到哥廷根大学的狄利克雷的逝世，他被任命为正教授。
在施马尔富斯的推荐下，黎曼借走了勒让德的《数论》。这是一本859页的、大4开本的没有什么价值的书，事实上，大部分内容都是令人扫兴的很详细的推理。6天后，黎曼送回了这本书。黎曼没有直接回答，而是表示他欣赏勒让德的这部名著。“那当然是一本了不起的书，我已经掌握了它。”事实上他确实掌握了它。过了一些时候，在考他时回答得很全面，尽管他已经好几个月不看这本书了。
这无疑是黎曼对素数之谜感兴趣的开始。勒让德又一个用来估计小于给定数的素数的近似数目的经验公式；在黎曼最深刻、最有启发性的论文中，有一篇（只有8页）就是属于这同一个一般领域的。事实上从他试图改进勒让德的结果而产生的“黎曼猜想”，今天如果不是对纯数学最著名的挑战的话，也是最著名的挑战之一。
我们可以稍微提前一点，在这里说明这个猜想是什么，它出现在著名的论文《关于小于某个给定量的素数的数目》中，该文发表在柏林科学院1859年11月的月报上，其时黎曼33岁。所论的问题是要提供一个公式，表明小于已知数n的素数有多少个。在解决这个问题的尝试中，黎曼不得不研究ζ(s)（希腊语第6个字母ζ表示这个函数，叫做黎曼ζ函数）；随着s改变，ζ(s)连续地取不同的值。对于s的哪些值ζ(s)是零呢？黎曼猜测：对于实部u=Re(s)在0和1之间的所有这样的s值都具有形式1/2+iv，即所有这些值的实部都等于1/2。
1914年，哈代证明了s的无穷多个值满足这个猜想，但无穷未必是全体。
黎曼在中学靠——总是以惊人的速度——自学领会的不仅仅是勒让德这个伟大数学家的著作；他通过学习欧拉的著作熟悉了微积分学及其分支。相当令人惊奇的是，黎曼从分析学的这样一个古老的起点（由于高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱的工作，欧拉的方法到19世纪40年代中叶已经过时）开始，后来竟能成为一名敏锐的分析学家。
由于黎曼开创的单复变量函数理论的工作，在他自己的历史以及现代科学史上都相当重要，所以我们将概略地谈谈有关它的一些东西。
简单说来，没有什么是明确的。单复变解析函数的定义，在谈到高斯对柯西基本定理的预测时讨论过，这个定义基本上是黎曼的。当用解析而不是用几何方法把这个定义表示出来时，它导致一对偏微分方程的出现，黎曼以它们作为他对单复变函数论的出发点。
[
问：柯西-黎曼方程中的黎曼的贡献在哪里？
如果z=x+yi，且w=u+vi是z的解析函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，那么黎曼方程[柯西-黎曼条件是充要的]是u_x=v_y,u_y=-v_x。
这些方程早就由柯西提出来了，但是甚至柯西也不是第一个，因为达朗贝尔在18世纪就陈述过这些方程（1752，1777，1814，1851）。
19世纪历史上有三种不同的等价的定义：
复可微complex diff（复可微与复可导等价。）<=>复解析complex analytic（在区域两者是等价的；在一点处两者是不等价的，后者是前者的强抽象。）
全纯holomorphic function
问：单复变函数在一点解析与不解析是怎样定义的？最早是由柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯中的哪一位提出的？
]
按照戴德金的说法，“黎曼在这些偏微分方程中看出了单变量[解析]函数的定义。也许这些对他未来的事业具有最大重要性的想法，是他在1847年[黎曼当时21岁]秋假期间第一次得出的。”
黎曼对他在物理学中的工作着了迷，把他的纯粹数学暂时放在一边，1850年他参加了由韦伯、乌尔里希、斯特恩和利斯廷刚刚开设的数学物理学研究班。在这个研究班中，物理实验耗费了原本应该准备数学博士论文的时间，黎曼直到25岁才交出数学博士论文。
我们可以顺便提到研究班的领导者之一，约翰·本尼迪克·利斯廷（Johann Benedict Listing，1808-1882），因为他可能影响了黎曼在1857年的一项最伟大的成就中的想法，这项成就就是把拓扑方法引入单复变函数论中。
[
1847年，(德)利斯廷(J.B.Listing,) 的《拓扑学初步》出版，首次给出“拓扑”这一术语，这是第一本拓扑学论著，标志着拓扑学的诞生。
1858年，(德)利斯廷(J.B.Listing,)也独立地发现默比乌斯带。
1862年，(德)利斯廷(J.B.Listing,)的《空间复形概论》出版，并独立发现了单叶侧面。
]
黎曼利用他的曲面及其拓扑取得了惊人的进展，特别是在阿贝尔函数方面。这方面的一个问题是，怎样做出截线以使得n叶曲面等同于一个平面。
1851年11月初，黎曼把他的博士论文《单复变函数一般理论的基础》呈交给高斯审查。这个25岁的年轻大师做出的这项工作，是少数几项激起高斯热情的、对数学的现代贡献中的一项，那时距离高斯去世还有4年时间，高斯几乎是一个传说中的人物。黎曼在高斯看完他的论文后前去登门拜访，高斯告诉他，他本人已经计划多年，要想写一篇同样题目的专题论文。高斯给格丁根大学哲学系的正式报告是值得注意的，因为这是高斯情不自禁地发表正式看法的极少数报告之一。
1850-1854年，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分和函数[黎曼]可积的概念。黎曼构造了具有无穷间断点而[黎曼]可积的函数，指出[黎曼]可积函数不一定是连续的。寻找这类函数是19世纪70-80年代很时髦的课题。
柯西的一个重要结果是说，一个连续函数的无穷级数，如果它的和存在，则此和函数是连续的；但这个结论是错误的。反例早在1826年就发现了，它是现在被称为傅里叶级数的正弦和余弦函数有关的级数。傅里叶的工作激发了狄利克雷去更详细地研究函数的概念，也激发了黎曼去发展出现今称作黎曼积分的概念。
在1853年，乔治·伯恩哈德·黎曼（1826-1866）曾尝试按柯西对积分∫[a,b]f(x)dx的定义首先来准确决定哪些函数是可积的，用以推广狄利克雷的结果。事实上，他开始时便对此定义作了某种程度的改变。像柯西一样，他把区间[a,b]分成n个子区间[x_(i-1),x_i]，i=1,2,…,n，令δ_i=x_i-x_(i-1)，他现在考虑了和S=∑[i=1->n]δ_if(x_(i-1)+ε_iδ_i)，其中每个ε_i介于0和1之间。因为黎曼允许函数f的变量在适当的子区间中取任何值，所以这个和较之柯西的要一般得多。然后它定义积分为S所趋向的极限，只要这些极限存在而不管这些δ_i和ε_i是怎样取的。
----存在黎曼可积但不柯西可积的函数吗？一般的数学分析教材只提到了黎曼可积和勒贝格可积，没有提到柯西可积，这样的处理是不妥的。
现在黎曼问了一个可柯西不曾问过的问题：在什么情形下一个函数可积而又在什么情形下不可积？柯西自己只指出过某一类函数是可积的，但没有试图找出所有这类函数。作为不满足可积柯西准则却是黎曼可积的例子是一个定义在[0,1]上的函数，它是由黎曼给出的：
f(x)=∑[n=1->∞]φ(nx)/n^2，其中φ(x)等于x减去靠近它的整数，要是存在两个同等靠近的整数则定义为0。最后证明除了在无穷多个点x=p/2n外f是连续的，这里的p与n互素。但是因为靠近这样一个点的f的变差等于pi^2/8n^2，那么使靠近它们时变差大于任意σ>0的点的个数为有限，从而此函数满足黎曼可积性准则。
用现在所证明可积的一类新函数，黎曼便能把狄利克雷的结果推广到傅里叶级数的收敛性方面去。依次方式黎曼能找出许多种函数，它们都能由三角函数级数表示，但这从来就没有把整个问题回答道使他满意的程度。大概这就是黎曼从没有发表过这方面材料手稿的原因。
黎曼以其独特的创造性工作开辟了数学的新时代，同时促使德国成为数学大国，也使哥廷根继柏林之后成为世界的数学中心。他为克莱因-希尔伯特时代的哥廷根奠定了基础。
黎曼一生的重大贡献除了复变函数论以外，就得数黎曼几何及其空间理论了。如果说在函数论中黎曼是追随柯西和阿贝尔的话[在函数论中黎曼还追随了欧拉、傅里叶、狄利克雷]，那么在几何中它追随的是高斯。许多人把黎曼称为几何哲学家，这无疑是由于他的几何具有丰富的哲学内容，这方面黎曼受到了赫伯特（1776-1841）和康德的很多影响。
1861年，作为法国科学院大奖赛的应征论文，黎曼在1854年讲演稿的基础上，写了一篇热传导的文章。文章以热传导问题的应用为基本出发点，详细地展开了他的空间理论的数学形式。不知为什么，这篇后来所谓的《巴黎之作》竟没有获奖。这当然是不愉快的，它使黎曼感到失望，甚至不愿把文章发表出来。直到黎曼死后两年，1854年的讲演稿才以《关于作为几何学基础的假设》为题出版，而《巴黎之作》则于1876年发表在他的《文集》之中。
1854年的文章发表后引起了一些人的很大兴趣，他们力图去充实黎曼所概述的思想，并加以推广，其中最直接的继承者是意大利的贝尔特拉米、瑞士的克里斯托夫（E.B.Christoffel，1829.11.10-1900.3.15）和德国的鲁道夫·李普希茨（Lipschitz，1832.5.14-1903.10.7）。这些人发展了黎曼的思想。但总的说来，19世纪黎曼空间是被当作抽象的数学理论接受的。
1858年，黎曼的兴趣转向了解析数论，试图利用复数z的ζ函数去证明素数定理。这是继复变函数论和黎曼空间理论之后，黎曼数学研究的第三个领域。
19世纪的数论，经过欧拉、雅可比等人的个别工作，解析方法和解析成果开始导入。狄利克雷唤起了人们对复数和解析方法引入数论的注意。
黎曼ζ函数是指ζ(s)= ∑[n=1->∞]1/(n^s)，对于s是实数的情况，欧拉早在1737年就进行考虑并给出了结果，欧拉得到著名的恒等式ζ(s)=∏[p](1-1/(p^s))^(-1)，进而证明当s>1时级数收敛。利用这个结论，欧拉后来证明素数的倒数之和是发散的。1749年，欧拉又断言对实的s，ζ(1-s)=2(2pi)^(-s)cos(pis/2)Γ(s)ζ(s)。
这个等式现被称为ζ函数的函数方程，欧拉说他已验证这一方程一直到了对它无可怀疑的程度。欧拉的这些研究相当深刻，但仍留有空白，一是他没有考虑当s是复数时函数ζ(s)的敛散性以及其他情况，二是未对上述函数方程作出证明。这就为黎曼展现了一条开通解析数论的途径。
1859年，黎曼发表著名论文《论小于给定数的素数个数》[注意是小于还是不超过]。这是他短暂一生中最后的一篇，在这篇论文中黎曼第一个成功地把ζ(s)作为复变数s= x+iy的函数来加以研究。正是这个原因，这个函数现在被称之为黎曼ζ函数。根据欧拉无穷乘积表示，黎曼首先证明了当Re(s)>1时，ζ(s)是没有零点的正则函数。接着证明了ζ(s)可在整个复平面上解析延拓为只在s=1有一阶极点的亚纯函数，以及(s-1)ζ(s)和ζ(s)-1/(s-1)都是s的整函数。这些结果使黎曼对ζ(s)有了进一步的认识。
[
函数的零点：
sinz的零点z=npi,(n=0,±1,…)
]尤其使他看到ζ函数的零点问题具有特别的重要性，例如，用ζ函数去证明素数定理时，就应当知道ζ(s)的复零点。当时黎曼已经证明当Re(s)>1时ζ(s)没有零点；而当s<0时，ζ(s)除在s=-2，-4，…处有零点外，没有其他零点。通常称这些零点为“平凡零点”。对于Re(s)的其他情况，黎曼未给出证明，但他提出了以下五个猜想。
----Γ(s)和ζ(s)这两个特殊函数在古典分析和古典数论中经常出现，和椭圆积分、椭圆函数是同等地重要。它们有很多类似之处，例如它们都没有椭圆函数论中的代数加法定理，都用函数方程进行延拓，都有0-1区间的非平凡值的计算问题……
[
习题1.证明黎曼ζ函数中，当s为-2n时（n是正整数），函数值为0。
首先回顾Riemann ζ函数的定义：
若Re(s)>1，则ζ(s)=∑{n>=1}1/n^s;
若Re(s)<0，则ζ(s)=(2^s)(π^(s-1))sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)，
其中Γ表示Gamma函数：
Γ(z)=∫[0,∞) t^(z-1)e^(-t) dt，或者等价地用函数方程：
当s≠0且s≠1时有π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^(-(1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)。
若0<=Re(s)<=1，使用上面的定义的ζ在全平面的唯一解析延拓。
令s=-2n，满足Re(s)<0，所以ζ(-2n)=(2^(-2n))(π^(-2n-1))sin(-nπ)Γ(1+2n)ζ(1+2n)=(2^(-2n))(π^(-2n-1))((2n)!)ζ(1+2n)*sin(-nπ)，而其中sin(-nπ)=0，所以ζ(-2n)=0。
证毕
]
----数学分析和复分析教材合并之后，除了添加椭圆积分和椭圆函数的内容之外，还应该有复变量的伽马函数和黎曼zeta函数的内容。前者是欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、雅可比、埃尔米特、刘维尔、黎曼、魏尔斯特拉斯等数学大师们研究过的一类特殊非初等函数，有加法定理、单值性与多值性、双周期性等特殊性质，后者是欧拉、勒让德、黎曼研究过的另一类特殊非初等函数，没有加法定理，只能通过函数方程进行延拓。
1892年，(法)阿达马(Hadamard,J.(-S.))论“泰勒级数所定义的函数的解析开拓”发表，证明了黎曼第一、第三、第四猜想，第一次把集合论引入复变函数论。黎曼第一猜想：（1）ζ(s)在带形区域0<=Re(s)<=1中有无穷多个零点；黎曼第三猜想：（3）若将ζ(s)的非平凡零点记为p，则∑|p|^(-2)收敛，而∑|p|^(-1)发散；黎曼第四猜想：（4）整函数ξ(s)=pi^(-s/2)(s-1)ζ(s)Γ(s/2+1)可以表为……，其中p经过ζ(s)的全体非平凡零点；
1905年和1894年，冯·曼高尔分别证明了黎曼第二猜想和黎曼素数公式。黎曼第二猜想：（2）若N(T)表示ζ(s)在矩形0<=Re(s)<=1，0
另外还提出一个黎曼的素数公式。
Riemann-Zeta函数与整数中的素数分布密切相关。而Dedekind-Zeta函数与代数整数环中的素理想密切相关。
Bertrand 假设http://changhai.org/articles/science/mathematics/bertrand_postulate.php
Euler 乘积公式http://changhai.org/articles/science/mathematics/euler_product_formula.php
Lagrange 四平方定理http://changhai.org/articles/science/mathematics/four_square_theorem.php
《黎曼猜想漫谈》试读：《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）——王元
http://book.douban.com/reading/19787299/
史上最富有创造性的数学家——黎曼。
他奉行恩师高斯的座右铭，宁肯少些，但要成熟。
黎曼生前只发表10篇论文，却是很多领域的开拓者。
他提出的黎曼猜想是数学史的不朽谜语，被公认为是最伟大的数学猜想。
《黎曼猜想漫谈》：作者以非常明晰的数学阐释文字与优雅、生动、有趣的传记和历史篇章交替出现，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。大师留给我们的岂止是一些公式、原理？还有他们对未知世界的探索精神，这都将激发人们对理想和美的追求。
数学家王元院士的评价：“本书关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。”
《南方周末》在2012年3月以《十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运》为题刊登了本书的一个梗概版。科学松鼠会网站也进行了连载，反响很热烈。除此，本书内容也被其他许多知名网站转载或链接过。
卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦物理系。毕业后赴美留学，于2000年获得哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《寻找太阳系的疆界》《太阳的故事》。并在《中国青年报》《科幻世界》《现代物理知识》《中学生天地》《科学画报》等报纸、杂志上发表几十篇科普及高端科普作品。
《黎曼猜想漫谈》
《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）
1、哈代的明信片
2、黎曼ζ函数与黎曼猜想
3、素数的分布
4、黎曼的论文——基本思路
5、黎曼的论文——零点分布与素数分布
6、错钓的大鱼
7、从零点分布到素数定理
8、零点在哪里
9、黎曼的手稿
10、探求天书
11、黎曼-西格尔公式
12、休闲课题：围捕零点
13、从纸笔到机器
14、最昂贵的葡萄酒
15、更高、更快、更强
16、零点的统计关联
17、茶室邂逅
18、随机矩阵理论
.19、蒙哥马利-欧德里兹科定律
20、希尔伯特-波利亚猜想
21、黎曼体系何处觅
22、玻尔-兰道定理
23、哈代定理
24、哈代-李特尔伍德定理
25、数学世界的独行侠
26、临界线定理
27、莱文森方法
28、艰难推进
29、哪里没有零点
30、监狱来信
31、与死神赛跑的数学家
32、从模算术到有限域
33、“山寨版”黎曼猜想
34、“豪华版”黎曼猜想
35、未竟的探索
附录a欧拉乘积公式
附录b超越zetagrid
附c黎曼猜想大事记
参考文献
后记