连续系统微分方程——信号与系统学习笔记


连续时间系统的数学模型


根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
给定激励条件和初始状态,求响应。
经数学解析后再回到物理实际。
结构图,例如方框图和信号流图。

连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第1张图片 连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第2张图片 连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第3张图片

注意:一般微分方程的阶次就是未知量的最高阶次,与等号右侧的自由项阶数无关,其完整的判断为 v c ( t ) v_c(t) vc(t)最高阶次减去最低阶次。

连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第4张图片

方程的阶次实际由独立的动态元件个数决定


连续时间系统的框图表示


在学习框图的过程中,除了基本的运算符号,还会遇到如前向差分(forward difference)这个差分的概念。
差分运算,相应于微分运算,在模电中我们学习过差分放大电路,就是当该电路的两个输入端的电压有差别时,输出电压才有变动,因此称为差动。

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 y ( n ) y(n) y(n),在等距节点,我们称 y ( n + 1 ) − y ( n ) \bm{y(n+1)-y(n)} y(n+1)y(n)为一阶前向差分,
同理 y ( n ) − y ( n − 1 ) \bm{y(n)-y(n-1)} y(n)y(n1)为一阶后向差分;此外还有中心差分 1 2 [ y ( n + 1 ) − y ( n − 1 ) ] \bm{\frac{1}{2}[y(n+1)-y(n-1)]} 21[y(n+1)y(n1)]

其实求导中就包含差分公式:如用前向差分公式就可以表示为 f ′ ( x ) = f ( x k + 1 ) − f ( x k ) x k + 1 − x k f^{'}(x)=\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x{k}} f(x)=xk+1xkf(xk+1)f(xk)

差分的阶:
y ( n ) = x ( n − 2 ) + a y ( n − 1 ) y(n)=x(n-2)+ay(n-1) y(n)=x(n2)+ay(n1) 方程的阶次仍然是一阶后向差分方程,判别为响应的最高阶次减去响应的最小阶次,与自由项(激励)无关。

标准的差分方程应为 y ( n ) − a y ( n − 1 ) = x ( n − 2 ) y(n)-ay(n-1)=x(n-2) y(n)ay(n1)=x(n2),自由项全在等号右边。

根据框图写微分方程:
连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第5张图片
详细的求解过程中有一些习惯性的技巧:

  1. 从后向前假设
  2. 先找加法器,有几个加法器列几个等式
  3. 列出后消去中间变量,最后只保留 e ( t ) 和 r ( t ) e(t)和r(t) e(t)r(t)

当我们略去推导过程,最后通过式1和式2相互代入其实就可得到我们想要的方程。

根据微分方程画框图:

连续系统微分方程——信号与系统学习笔记_第6张图片

倒推画框图 由通信博主AHONEY、笔记提供

你可能感兴趣的:(信号与系统)