一般的非齐次混合问题 | 偏微分方程（二十二）

一般的非齐次混合问题

现在考虑一般的非齐次混合问题
$$\{\begin{array}{l}{L}_{t}u+L_{x}u=f(t,x),t>0,a<x<b\\ ({\alpha }_{1}u-{\beta }_1\frac{\partial u}{\partial x}){|}_{x=a}=g_1(t),(a_{2}u+{\beta }_2\frac{\partial u}{\partial x}){|}_{x=b}=g_2(t)\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),\frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x)\end{array}$$
边界条件出现非齐次项$g_1(t),g_2(t)$，不能再用分离变量法（Fourier展开法）或冲量原理法求解，但是可以通过寻找满足非齐次边界条件的特解把边界条件齐次化。

设$v(t,x)$满足非齐次边界条件
$$(a_{1}v-{\beta }_1\frac{\partial v}{\partial x}){|}_{x=a}=g_1(t),(a_{2}v+{\beta }_2\frac{\partial v}{\partial x}){|}_{x=b}=g_2(t)$$
这里的$v(t,x)$显然不唯一，最简单地，可取为x的线性函数
$$v(t,x)=A(t)x+B(t)$$
其中，$A(t),B(t)$待定，将此$v(t,x)$代入边界条件，整理得$A(t),B(t)$的线性方程组
$$\{\begin{array}{l}({\alpha }_{1}a-{\beta }_1)A(t)+{\alpha }_{1}B(t)=g_1(t)\\ ({\alpha }_{2}b+{\beta }_2)A(t)+{\alpha }_{2}B(t)=g_2(t)\end{array}$$
解出$A(t),B(t)$便可得满足非齐次边界的$v(t,x)$。若上述线性方程组无解，则可设$v(t,x)$为x的二次函数。

找到这样的$v(t,x)$，令$u(t,x)=v(t,x)+w(t,x)$，由叠加原理知，$w(t,x)$满足非齐次方程齐次边界条件的定解问题
$$\{\begin{array}{l}{L}_{t}w+L_{x}w=f(t,x)-L_{t}v-L_{x}v,t>0,a<x<b\\ ({\alpha }_{1}w-{\beta }_1\frac{\partial w}{\partial x}){|}_{x=a}=0,(a_{2}w+{\beta }_2\frac{\partial w}{\partial x}){|}_{x=b}=0\\ w{|}_{t=0}=\phi (x)-v{|}_{t=0},\frac{\partial w}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x)-\frac{\partial v}{\partial t}{|}_{t=0}\end{array}$$
这在齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题已解决。