抽象代数学习笔记（14）商群

上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。

如果 N N 是不变子群，那么利用 N N 可以导出　 G G 上的一个等价关系，　 a b a   b 当且仅当　 a−1b∈N a − 1 b ∈ N ，也就是 a,b a , b 　同属于　 N N 的一个左陪集。

（证明：
首先 a−1a∈N a − 1 a ∈ N ，说明关系满足自反性；其次，因为 a−1b∈N a − 1 b ∈ N ,所以 a(a−1b)a−1=ba−1∈N,b(a−1b)b−1=ba−1∈N a ( a − 1 b ) a − 1 = b a − 1 ∈ N , b ( a − 1 b ) b − 1 = b a − 1 ∈ N ，满足对称性； a−1b∈N,b−1c∈N a − 1 b ∈ N , b − 1 c ∈ N ，则 a−1bb−1c=ac−1∈N a − 1 b b − 1 c = a c − 1 ∈ N ，满足传递性。
）

因为 N N 是不变子群，它的左陪集就是右陪集,此处简称陪集。对于 N N 确定的等价关系，我们可以得到 G G 的一个商集 G¯ G ¯ ,它的每个元素都是 N N 的一个陪集。现在要做的就是将任意群 G G 对于不变子群 N N 的商集定义成群，得到所谓的商群。

定理１　设 N N 是群 G G 的一个不变子群， G/N G / N 代表 G G 对 N N 的所有陪集构成的集合，规定任意 aN,bN∈G/N a N , b N ∈ G / N ,对应 G/N G / N 的元素 (a∗b)N ( a ∗ b ) N , 则得到 G/N G / N 的一个运算，记为 # # ，即
aN#bN=(a∗b)N a N # b N = ( a ∗ b ) N ，进一步 (G/N,#) ( G / N , # ) 是个群。

要证明定理１，首先要证明 (a∗b)N ( a ∗ b ) N 是由 aN,bN a N , b N 唯一确定的，而与陪集代表元的选择无关。

设 a1N=a2N,b1N=b2N a 1 N = a 2 N , b 1 N = b 2 N ，那么，必有 u,v∈N u , v ∈ N 使得 a1=a2u,b1=b2v a 1 = a 2 u , b 1 = b 2 v ，从而 a1∗b1=a2∗(u∗b2)∗v a 1 ∗ b 1 = a 2 ∗ ( u ∗ b 2 ) ∗ v ，因为 N N 是 G G 的不变子群，而 u∗b2∈Nb2=b2N u ∗ b 2 ∈ N b 2 = b 2 N ，又必有 w∈N w ∈ N ，使 u∗b2=b2∗w u ∗ b 2 = b 2 ∗ w ，于是 a1∗b1=a2∗b2∗(w∗v) a 1 ∗ b 1 = a 2 ∗ b 2 ∗ ( w ∗ v ) ，其中 w∗v∈N w ∗ v ∈ N ，也就是说 (a1∗b1)N=(a2∗b2)N ( a 1 ∗ b 1 ) N = ( a 2 ∗ b 2 ) N 。
这样就说明了无论代表元如何选取，得到的都是同一个陪集。接下来证明得到的是群即可。

定义１ N N 是群 (G,∗) ( G , ∗ ) 的不变子群，在商集 G/N G / N 中规定 aN#bN=(a∗b)N;aN,bN∈G/N a N # b N = ( a ∗ b ) N ; a N , b N ∈ G / N ，则 (G/N,#) ( G / N , # ) 构成群，称之为群 (G,∗) ( G , ∗ ) 对不变子群 N N 的商群。

这里需要注意两件事：首先，证明运算 # # 的合理性是必要的；其次，商群 G/N G / N 的运算 # # 特指定义1中的那种运算。

• 如果 G G 是个群， N N 是 G G 的不变子群，那么映射 f:G→G/N f : G → G / N ， f(a)=aN f ( a ) = a N ，对任意 a∈G a ∈ G 是满同态映射，且 Ker(f)=N K e r ( f ) = N 。

• 同态基本定理：设 (G,∗),(H,+) ( G , ∗ ) , ( H , + ) 都是群， f f 是 G G 到 H H 的满同态映射， ker(f)=K k e r ( f ) = K ，那么有映射 φ:G/K→H φ : G / K → H ，使得
  φ(aK)=f(a),∀aK∈G/K φ ( a K ) = f ( a ) , ∀ a K ∈ G / K ，并且， φ φ 是 G/K G / K 到 H H 的同构映射。