求解一个有趣的常微分方程组

我同学提出了一个有趣的微分方程组，如下：
(1)

dxdt+dydt=v0

(2)

m(dxdt)2+m(dydt)2+k(y−x−l)2=mv20

从方程看，第二个是能量守恒，第一个应该是动量守恒，系统中有两个质量为 m 的物体，有一个初始长度为 l 的弹簧。(2)式两边同时乘以 12 可知初始能量为 12mv20 。
要想解开这个方程，需要把它先化为我们熟知的微分方程类别，例如二阶常系数微分方程。
考虑(1)的平方。

(dxdt)2+(dydt)2+2dxdtdydt=v20

(3)

两边都乘以m，得，

m(dxdt)2+m(dydt)2+2mdxdtdydt=mv20

(4)
对(4)和(2)求差，得

2mdxdtdydt=k(y−x−l)2

(5)
对(5)两侧求自变量t的导数

2m(d2xdt2dydt+dxdtd2ydt2)=2k(y−x−l)(dydt−dxdt)

(6)
对(1)两侧求自变量t的导数

d2xdt2+d2ydt2=0

(7)
也就是说

d2xdt2=−d2ydt2

(8)
将(8)应用到(6)，消去y的二阶导数，得

2md2xdt2(dydt−dxdt)=2k(y−x−l)(dydt−dxdt)

(9)
整理(9)得，

md2xdt2=k(y−x−l)

(10)
对(1)两侧做积分，得

∫(dxdt+dydt)dt=∫v0dt

(11)
也就是

x+y=v0t+C

(12)
如果考虑在t=0时候， x=0,y=l ,也就是假设弹簧处于原长，则，

C=l

(13)
然后，(12)可以修订为

x+y=v0t+l

(14)
将(14)应用到(10)，消去y，得

md2xdt2=k(v0t+l−x−x−l)=k(v0t−2x)

(15)
从而得到

mx′′+2kx=kv0t

(16)
整理得

x′′+2kmx=kv0mt

(17)

进一步采用常系数二阶非齐次微分方程求解方法可得

x(t)=C1cosAt+C2sinAt+C3t+C4

(18)
经过对初值条件得分析，则可以得到正确表达式

x(t)=v02t+v02m2k−−−√sin2km−−−√t−l2

(19)
结合(14)可知，

y(t)=v02t−v02m2k−−−√sin2km−−−√t+l2

(20)

我的朋友用不同的方法也得到了同样的结果。在他的个人博客中，提到了这个微分方程组对应的物理现象。在光滑跑道上有两个质量为 m 的物体，两个物体中间连有一个初始长度为 l 的弹簧。在初始时刻，赋予其中一个物体一个速度 v0 ,求解这两个物体的运动方程。

起初，我并不知道这些初始条件，物理场景，所以尝试把方程转化为我们学习过的类别。比如，一阶常微分方程，二阶常系数常微分方程。因为方程(2)包含有平方项，所以当务之急是消去它。消去两个平方项，得到了方程(5)，又陷入困境：怎么处理 dxdtdydt 这样的交叉项呢？看书也并无帮助，我回过头来对两边求导，后面又发现两个物体的加速度，或者位移的二阶导数是等大反向，所以可以提出一个公因式， dydt−dxdt ，如果假设这个公因式不为0，就可以从等式两边消去，从而得到一个更加简单的二阶方程。后面的事情就很好处理了。
命题， dydt−dxdt=0 是不可能成立的。
证明：
如果 dydt−dxdt=0 ，则方程的解显然是 y=x 。这相当于在初始时刻给予两个物体相同的初速度 v0/2 ，然后两个物体做匀速直线运动，故而弹簧没有伸缩，没有弹性势能。初始动能是 12m(v02)2+12m(v02)2=14mv20 而不是 12mv20 ，得证。

参考资料：
丁同仁，李承治， 常微分方程，第二版， 高等教育出版社
刘珈铭，Jia-Ming (Frank) Liou, 微分方程讲义补充，国立成功大学数学系