数论经典习题系列之求重集组合数(一)


title: 数论经典习题系列(一)
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经典练习题

例题1

n个没有区别的球放入r个有标志的盒子里面(n>=r),每个盒子只允许放一个球,请问有多少种放法?

每个盒子只能放一个球,所以方法为排列数,P(n,r);

例题2

n个没有区别的球放入r个有标志的盒子里面(n>=r),每个盒子至少放一个球,请问有多少种放法?

方法一

分两个步骤完成:

(1)首先每个盒子放一个球,因为球是没有区别的,所以这样的方法是1

(2)然后再n-r个球放到r个盒子里面,每个盒子放置的球数没有限制,比如把所有的球都装到其中一个盒子,所以盒子相当于是一个重集:
{ ∞ ⋅ a 1 , ∞ ⋅ a 2 , ∞ ⋅ a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∞ ⋅ a n \infty\cdot a_{1},\infty\cdot a_{2},\infty\cdot a_{3},\cdot \cdot \cdot ,\infty\cdot a_{n} a1,a2,a3,,an}。
结果就是相当于在重集里面取出n-r个元素的组合

其实就是F(r,n-r)= ( r + n − r − 1 r − 1 ) \binom{r+n-r-1}{r-1} (r1r+nr1)= ( r + n − r − 1 n − r ) \binom{r+n-r-1}{n-r} (nrr+nr1)= ( n − 1 r − 1 ) \binom{n-1}{r-1} (r1n1)

(1)(2)使用乘法定理之后,结果等于 ( n − 1 r − 1 ) \binom{n-1}{r-1} (r1n1)

方法2

直接一个步骤完成,要求盒子不能为空,根据隔板法(可以wiki一下)
r个盒子,n个球,相当于要把n个球划分为r堆,
因为n个球有n-1的缝隙,要划分为r堆,就需要找r-1个缝隙。
所以就是在n-1个缝隙里面找出r-1个缝隙就好了
答案就是 ( n − 1 r − 1 ) \binom{n-1}{r-1} (r1n1)

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