Codeforces Beta Round #51 D. Beautiful numbers 题解（数位dp+离散化）

题目链接

题目大意

就是求区间内能被所有位上的数字(!0)整除的数的个数

题目思路

首先这很明显是一个数位DP
满足被所有位上的数字(!0)整除的数 其实就是满足被这些位数的lcm整除
然后就是怎么处理一个数在不断变化中 还要对lcm{xi}取模呢
这时候就要仔细思索其中的奥妙 也是本题最重要的一点.
首先lcm{1~9}=2520;
想到每个数都是1~9中某些数字的lcm 所以他们一定能整除2520

因为 若a≡b(mod m) 且d|m 则a≡b(mod d);
转化一下设b已经是对m取完模的了
于是得到 若a % m=b%m 且d|m 则a % d = b%d;
因为 b=b%m 所以 b=b%m=b%d
所以 b%m%m=b%d%m
所以 b%m=b%d(km)%m

所以可以得到下 x%km%m<=>x%m

综上所述 x%2520%lcm{xi}==0 ; 是满足条件
而x%2520 是可以确定的 和大数取模类似
mod = (mod*10+本位数字)%2520 ;

所以我们开数组的时候要有x%2520 和lcm{xi}这两项 再加上位数 所以 数组应该这么开
dp[位数][x%2520][lcm{xi}];

但是这么开的话是这样的 dp[19][2520][2520] 1925202520 = 120657600 即使CF提供的256M的内存也会炸的不要不要的
所以得想办法优化一下

然后就想啊想 终于~~
想到每个数只能是1~9的最小公倍数 所以计算了下 所有的lcm一共有48种可 能 如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 18 20 21 24 28 30 35 36 40 42 45 56 60 63 70 72 84 90 105 120 126 140 168 180 210 252 280 315 360 420 504 630 840 1260 2520
共计48种
然后就可以离散化一下 这样 dp[19][2520][2520]–>dp[19][2520][48]; 降低了空间复杂度 就可以AC了;

其实还可以继续优化 因为上面的结论 所以 %2520 <=>%252的 所以最后的数组可以优化到dp[19][252][48];
这样的时空复杂度均能得到下降

可以%2的原因是因为假设现在是mod，下一位是i，则为（mod*10+i）%2520=mod%252+i%2520=mod%252+i%252=(mod+i)%252

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=2520;
int t,dig[20],fac[50],d[50][10],num[mod+5];
ll dp[20][50][mod+5];
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
ll dfs(int pos,int beishu,int yu,bool limit){
    if(pos==0){
        return yu%fac[beishu]==0;
    }
    if(!limit&&dp[pos][beishu][yu]!=-1){
        return dp[pos][beishu][yu];
    }
    ll ans=0;
    int ed=limit?dig[pos]:9;
    for(int i=0;i<=ed;i++){
        ans+=dfs(pos-1,d[beishu][i],(yu*10+i)%mod,limit&&i==ed);
    }
    if(!limit){
        dp[pos][beishu][yu]=ans;
    }
    return ans;
}
ll work(ll x){
    int cnt=0;
    while(x>0){
        dig[++cnt]=x%10;
        x=x/10;
    }
    return dfs(cnt,1,0,1);
}
void init(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=mod;i++){//2520的48个因子，进行离散化
        if(mod%i==0){
            fac[++tot]=i;
            num[i]=tot;
        }
    }
    //预处理fac[i]和j的lcm
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        d[i][0]=i;
        for(int j=1;j<=9;j++){
            d[i][j]=num[lcm(fac[i],j)];
        }
    }
}
int main(){
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        ll a,b;
        scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
        printf("%I64d\n",work(b)-work(a-1));
    }
    return 0;
}

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_33184171/article/details/52332586?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.nonecase