沙河飞天技术学院2019年数学二学位概统题
沙河飞天技术学院2019年数学二学位概统题
- 第一大题（本题18分）
- 第1小题（6分）
- 第2小题（6分）
- 第3小题（6分）
- 第二大题（本题20分）
- 第1小题（10分）
- 第2小题（10分）
- 第三大题（本题20分）
- 第四大题（本题12分）
- 第1小题（6分）
- 第2小题（6分）
- 第五大题（本题共30分）
- 第1小题（6分）
- 第2小题（10分）
- 第3小题（14分）
第一大题（本题18分）
第1小题（6分）
设样本空间为 Ω = { 0 , 1 , 2 , ⋯ } \Omega=\lbrace0,1,2,\cdots\rbrace Ω={0,1,2,⋯} ，试给出 Ω \Omega Ω 上的3个不同的 σ − \sigma- σ− 代数（也称事件域 ） F 1 , F 2 , F 3 F_1,F_2,F_3 F1,F2,F3 使得 F 1 ⊂ F 2 ⊂ F 3 F_1⊂F_2⊂F_3 F1⊂F2⊂F3 。
第2小题（6分）
设 ( Ω , F , P ) (\Omega,F,P) (Ω,F,P) 是概率空间， A ∈ F A∈F A∈F ，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0 ，对任意事件 B ∈ F B∈F B∈F ，定义非负集函数 P A ( B ) = P ( A B ) P ( A ) P_A(B)=\cfrac{P(AB)}{P(A)} PA(B)=P(A)P(AB) ，证明 P A ( ⋅ ) P_A(\cdot) PA(⋅) 是定义在可测空间 ( Ω , F ) (\Omega,F) (Ω,F) 上的概率，即条件概率。
第3小题（6分）
证明： P { X = x } = F ( x ) − F ( x − 0 ) P\lbrace X=x \rbrace=F(x)-F(x-0) P{X=x}=F(x)−F(x−0) ，其中 F ( x ) F(x) F(x) 是随机变量 X X X 的分布函数。
第二大题（本题20分）
设随机变量 X X X 与 Y Y Y 相互独立， Y ∼ N ( 0 , 1 ) Y\thicksim N(0,1) Y∼N(0,1) 。
第1小题（10分）
若随机变量 X X X 的分布列为 P { X = − 1 } = 1 − p P\lbrace X=-1 \rbrace=1-p P{X=−1}=1−p ， P { X = 1 } = p P\lbrace X=1 \rbrace=p P{X=1}=p ( 0 < p < 1 ) (0<p<1) (0<p<1) ，试求 Z = X Y Z=XY Z=XY 的分布函数 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z) ，并问 Z Z Z 是何种类型的随机变量？
第2小题（10分）
若 X ∼ B ( 1 , p ) X\thicksim B(1,p) X∼B(1,p) , ( 0 < p < 1 ) (0<p<1) (0<p<1) ，试求 Z = X Y Z=XY Z=XY 的分布函数 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z) ，并问 Z Z Z 是何种类型的随机变量？
第三大题（本题20分）
设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的概率密度函数为： f ( x , y ) = { A x if 0 ⩽ x ⩽ 1 , x 2 ⩽ y ⩽ 1 0 if O t h e r s f(x,y) = \begin{cases} Ax &\text{if } 0\leqslant x\leqslant 1,x^{2}\leqslant y\leqslant 1 \\ 0 &\text{if } Others \end{cases} f(x,y)={Ax0if 0⩽x⩽1,x2⩽y⩽1if Others
（1）求 A A A ；
（2）边沿密度函数 f X ( x ) f_X(x) fX(x) 及 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) ，问 X X X 与 Y Y Y 是否相互独立？
（3）求条件概率密度函数 f ( y ∣ x ) f(y|x) f(y∣x) ；
（4）求条件期望 E ( Y ∣ X ) E(Y|X) E(Y∣X) 。
第四大题（本题12分）
第1小题（6分）
已知随机变量 X X X 的特征函数为 φ ( t ) = ( 1 − i t ) − n \varphi(t)=(1-it)^{-n} φ(t)=(1−it)−n ，试求数学期望 E ( X ) E(X) E(X) 及方差 V a r ( X ) Var(X) Var(X) 。
第2小题（6分）
设随机变量 X X X 的特征函数为 φ ( t ) = 1 2 [ cos t + cos 2 t ] \varphi(t)=\dfrac{1}{2}\lbrack \cos t+\cos 2t \rbrack φ(t)=21[cost+cos2t] ，试利用公式 p k = 1 2 π ∫ − π π exp ( − i k t ) φ ( t ) d t p_k=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \exp(-ikt)\varphi(t)\, dt pk=2π1∫−ππexp(−ikt)φ(t)dt 求 X X X 的分布列，其中 i 2 = − 1 i^{2}=-1 i2=−1 。
第五大题（本题共30分）
第1小题（6分）
设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 是来自正态总体 N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^{2}) N(0,σ2) 的简单样本，其中 σ 2 \sigma^{2} σ2 是未知参数，求 σ 2 \sigma^{2} σ2 的充分统计量 T T T 。
第2小题（10分）
设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 是来自正态总体 N ( μ , σ 0 2 ) N(\mu,\sigma_0^{2}) N(μ,σ02) 的简单样本，其中 σ 0 2 \sigma_0^{2} σ02 是已知常数，试在参数空间 Θ = { μ : μ ⩾ 0 } \Theta=\lbrace \mu:\mu\geqslant 0\rbrace Θ={μ:μ⩾0} 上求参数 μ \mu μ 的极大似然估计。
第3小题（14分）
设总体 X X X 的密度函数为 f ( x ) = { e − ( x − θ ) if x > θ 0 if x ⩽ θ f(x) = \begin{cases}e^{-(x-\theta)} &\text{if } x>\theta \\ 0 &\text{if } x\leqslant\theta \end{cases} f(x)={e−(x−θ)0if x>θif x⩽θ ，其中未知参数 θ > 0 \theta>0 θ>0 ， x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 是来自总体 X X X 的简单样本。
（1）试求 T = min 1 ⩽ k ⩽ n { x k } T=\mathop {\min }\limits_{1\leqslant k \leqslant n} \lbrace x_k\rbrace T=1⩽k⩽nmin{xk} 的概率密度函数；
（2）证明 θ ^ = min 1 ⩽ k ⩽ n { x k } − 1 n \hat{\theta}=\mathop {\min }\limits_{1\leqslant k \leqslant n} \lbrace x_k\rbrace-\dfrac{1}{n} θ^=1⩽k⩽nmin{xk}−n1 是 θ \theta θ 的无偏估计。