欧拉路 欧拉回路 定理及算法

一：无向图  

1、定义：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每条边一次且仅一次，该条路为欧拉路，

若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图。

2、定理：无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有0个或者是两个奇数度的结点。

3、推论：无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。

一笔画问题就是典型的这类问题：要判定一个图G是否可一笔画出，有两种情况，

1、从图中某一个结点出发，经过图G中每个边一次再回到该结点->欧拉回路

2、从G中某一个结点出发，经过G中每边一次且仅一次到达另一个结点->欧拉路

 二：有向图

1、定义：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。

2、定理：有向图G具有 单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。 

3、定理：有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。 

专题练习：

判断欧拉路，欧拉回路：->注意图联通，可以DFS或者并查集

一．无向图

欧拉回路：每个顶点度数都是偶数

欧拉路：所有点度数为偶数，或者只有2个点度数为奇数

二．有向图（非混合）

欧拉回路：每个顶点入度等于出度

欧拉路：每个顶点入度等于出度；

或者只有1个点入度比出度小1, 从这点出发，只有1个点出度比入度小1，从这个点结束，其他点入度等于出度

三、有向图（混合图）

待填坑...

题号：

1、 HDU 3018 Ant Trip   题解戳->这里