CRC循环冗余校验码总结

一、CRC简介

先在此说明下什么是CRC：循环冗余码校验 英文名称为Cyclical Redundancy Check，简称CRC，它是利用除法及余数的原理来作错误侦测（Error Detecting）的。实际应用时，发送装置计算出CRC值并随数据一同发送给接收装置，接收装置对收到的数据重新计算CRC并与收到的CRC相比较，若两个CRC值不同，则说明数据通讯出现错误
那么其实CRC有比较多种，比如CRC16、CRC32 ，为什么叫16、32呢。在这里并非与位有和关系。而是由所确定的多项式最高次幂确定的。如下所示。理论上讲幂次越高校验效果越好。
       CRC(12位) =X12+X11+X3+X2+X+1
　　CRC(16位) = X16+X15+X2+1
　　CRC(CCITT) = X16+X12 +X5+1
　　CRC(32位) = X32+X26+X23+X16+X12+X11+X10+ X8+X7+X5+X4+X2+X+1
二、循环冗余校验码（CRC）的基本原理：

在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

原理思维导图总结：

三、通信与网络中常用的CRC
在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案：
        A：① lllll00 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111
        B：① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111
        C～E：① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111 ⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000
解：
        A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111
        得到的CRC码为1111111
        B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101
        得到的CRC码为1100101
        C～E：
        分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 余000 ② 1111101÷1101 余001
        ③ 0010111÷1101 余000 ④ 0011010÷1101 余000 ⑤ 1000110÷1101 余000
        ⑥ 1001111÷1101 余100 ⑦ 1010001÷1101 余000 ⑧ 1011000÷1101 余100
        所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。
在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有且仅有3个“1”。这种码的编码效率为_E_。
供选择的答案：
        A：① 水平垂直奇偶校验 ② 循环求和 ③ 循环冗余 ④正比率
        B：① 模2除法 ②定点二进制除法 ③二－十进制除法 ④循环移位法
        C：① 1100101010111 ② 110010101010011 ③ 110010101011100 ④ 110010101010101
        D：① 可纠正一位差错 ②可检测所有偶数位错
        ③ 可检测所有小于校验位长度的突发错 ④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错
        E：① 3/7 ② 4/7 ③ log23/log27 ④ (log235)/7
解：从前面有关CRC的论述中可得出： A：③ 循环冗余 B：① 模2除法
        C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 余0011
        得到的CRC码为② 110010101010011
        D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错
        E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限制，每个字中1的总数是固定的。随用途之不同，定比码要求的附加校验位可能多于一个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力。
    所谓7中取3定比码，就是整个码字长度为7位，其中1的位数固定为3。所有128个7位代码（0000000～1111111）中只有1的位数固定为3的才是其合法码字。可以用求组合的公式求出其合法码字数为：C73＝7!/(3!*(7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35
        编码效率＝合法码字所需位数/码字总位数＝(log235)/7
而对于CRC的实现有两种方式，分别为多项式和查表法。