方波信号傅里叶级数展开

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周期信号可以进行傅里叶级数展开

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在研究非周期信号的傅里叶变换之前

首先应掌握傅里叶级数的三种表述形式：
三角函数形式
谐波形式
指数形式

并根据定义式求出傅里叶系数：

以周期性的方波信号为例，掌握傅里叶级数展开：

推导过程：


得到解析式后，可以用MATLAB仿真一下试试效果如何：

代码：

clc,clear;
x = linspace(0,10*pi,1000);
y=4/pi.*sin(0.5.*x); %E=2, w=0.5
for n = 2:10
    y = y + 4/pi.*(1/(2.*n-1).*sin((2.*n-1).*0.5.*x))
end
plot(x,y)
set(gca,'xticklabel',{'0';'\pi';'2\pi';'10\pi'});%关联的标签，用cell指定刻度标签

最高10次谐波效果：

最高15次谐波效果：

最高150次谐波效果：

可以发现，n取得越高，效果越逼近于方波，但边角处明显有突出的毛刺，这也称之为吉布斯现象。

将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。

当最高为1000次谐波时，还算比较平滑。