多元微分

欧式空间

一般来说，描述n元函数的自变量，需要考虑n个有次序的实数组：
(x1,x2,…xn)
以及由全体这样的数组成的集合：
Rn={(x1,x2,…xr)|xj∈R,j=1,2,…,n}
我们把每一个数组称为Rn中的一个点。我们称Rn为n维向量空间。
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。 [3] 具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
x=(x1,x2…,xn),y=(y1,y2,…yn)∈Rn，则x与y的距离定义为
|x-y|=||x-y||=∑ √(xi-yi)^2i=1到n求和。
正定性，对称性|向量x-向量y|=|向量y-x向量|，三角不等式（三个向量构成的三角形，两边的和大于第三边）。
定义3设P0∈Rⁿ是一固定点，δ>0为一实数，则集合{P|ρ(P，P0)<δ)称为以P0为中心的δ邻域，记作U(P0，δ)。
P0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是P0的某邻域，记作U(P0)，显然，在R，R2，R3中的邻域U(P0，δ)，就分别是以P0为中心以δ为半径的开区间、开圆和开球。
内积和极限可以交换顺序。

点列极限，开集与闭集

定义：设{xk}是Rn中的一个点列，若存在x0∈Rn,使得对于任意e>0,存在K∈N，当k＞K时，|xk-x0| limk→∞xk=x0
也称为x0为{xk}的极限，若不存在x0∈Rn,则称{xk}发散。
xk的极限为x0则，xk每一维都会收敛到x0对应的维度的值。
聚点，定义设E为Rn上的一个给定集合，若x∈Rn的任何f邻域U(x,f)(f>0)都有E中异于x的点，则称x为E的聚点或者极限点。特别地，当x∈E，且x不是E的聚点时，则称x为E的孤立点。

(1)若存在f>0,使得U(x,f)属于E，则称x是E的内点。记E0为E中所有内点构成的集合，并称为E的内部。
(2)若存在f>0,使得U(x,f)∩E=∅，则称x是E的外点。记E中所有外点构成的集合称为E的外部。
(3)若对于任意f>0,有U(x,f)∩Ec(E的补集）≠∅，并且U(x,f)∩Ec≠∅，则称x为E的边界点。E的边界点可能是E中的点，也可能不是E中的点。
E属于Rn,若E=Eo(E的内部）,则称E为开集。我们规定空集是开集。
开集具有以下性质：
Rn与∅是开集。
任意个开集的并是开集。
有限个开集的交是开集。
若E的补集是开集，则称E为闭集。
Rn与∅是闭集。
有限个闭集的并是闭集。
任意个闭集的交是闭集。
E为闭集的充要条件是E等于E的闭包。
给定集合E，记E‘为E的全体聚点组成的集合，并成为E’为E的导集，再记E把=E并E’，并成为E把为E的闭包。闭包为最小的能罩住E的闭集。
开集可能求极限会求到集合的外面。
闭集求极限肯定在集合里面。

多元函数与多元函数的极限

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。
当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数极限定义：设f(x)是定义在集合E属于Rn上的函数，x0=(x10,x20…xn0)∈E’。若存在A∈R，使得对于任意e>0,存在d>0，当x=(x1,x2,…,xn)∈U0（x0,d)∩E时，即0<|x-x0| |f(x)-A|
累次极限存在不一定能保证函数极限存在。同样函数极限存在也不能保证累次极限的存在。
函数f(x,y)在N0上有定义，且满足：
（1）函数有极限。
（2）x趋向于x0时，f(xy),x趋向于x0时的极限f(y)存在，则函数的极限等于函数的累次极限。

向量函数每一个分量都有极限的话，那么向量函数的极限就等于这些分量的矩阵。

多元函数的连续性

极限值等于函数值则为在该点上连续。
连续多元函数的和差积商，只要能做出商，也为连续函数。
两个多元连续函数的复合函数也是连续函数。
多元初等函数在其定义域内是连续的。
道路连通：设E属于Rn是一个非空的集合，若对于任意x,y属于E，都存在一条道路h(t):t∈[a,b]，使得h(a)=x,h(b)=y,且对于任意t属于[a,b]，有h(t)属于E，则称E是道路连通的。
多元连续向量函数，其中每一个分量如果连续，则多元向量函数也连续。
多元向量函数的和，差，数乘还是多元连续向量函数。
两个多元连续向量函数的复合函数仍然连续。
路径的定义：设D=[a,b]属于R，我们通常称D上的一个n维连续函数
h(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t)为Rn中的一条连续曲线。当n=1,2,3时，连续曲线具有鲜明的几何意义。一条连续曲线也称为Rn中的一条道路（或者路径）。
一个连通的开集称为区域。一个区域的闭包称为闭区域。
D是Rn的一个区域，若对于任意x,y∈D，有tx+(1-t)y∈D，即连接x与y的线段在D内，则D为凸域。
多元函数有界性定理，最值定理，介值定理与一维函数上一模一样。
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f’x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
y方向的偏导
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f’y(x0,y0)。
求偏导数只用把其中一元看成常熟，进行一元函数的求导。

向量函数求导求出为矩阵，每行是每一个分量对相应的变量求导。

高阶偏导数

如果定义在开集 上的函数 的一阶偏导数关于某个变量可偏微分，就能作出二阶偏导数。同样能定义 阶偏导数。我们即将一阶以上的偏导数称为高阶偏导数。
若函数f(x,y)的两个混合偏导数fxy(x,y),fyx(x,y)在区域D内连续，则该区域内这两个二姐偏导数相等。初等函数的混合二阶偏导数，顺序无所谓。

全微分

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
可以表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即
dz=AΔx +BΔy
该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
函数在(x0,y0)处存在偏导数，且这两个偏导数在(x0,y0)处连续，则f(x,y)在(x0,y0)处可微。
对于初等函数而言，只要偏导数存在，就一定可微。

方向导数与梯度

若函数f(x,y)在一点（x0,y0)可微，则f(x,y)在该点沿着任意方向l的方向导数均存在。


函数沿梯度方向时方向导数达到最大，函数值增大最快，沿负梯度方向时方向导数达到最小，函数值减小得最快。
一个函数经过梯度运算之后得到结果grad f是一个向量。

链式法则