部分OI常用数论符号集锦

部分数论符号集锦

背景

学OI,里面有一种叫做数论题的题目,简单的数论题还容易想,可是学到后面的那些算法都很烦,什么欧拉函数、莫比乌斯反演、某某筛之类的,真的一点都看不懂(update:我也更了一些博客、进行了学习,这篇博客年代久远,有些奇怪的地方请见谅
想要学数论先要会其相关符号,这里我整理出了部分常见OI用到的数论符号

正文

update: 说明一下,我认为1~3是真正的数论符号,其实4~6是一些希腊字母的特殊含义,由于比较常见,所以也列了出来,如果你想对这些了解更多,并且获知更多数论函数的相关信息(注意是数论函数,数论符号只在这篇博客里说明),请点击我的博客数论学习,这是在写本博客1年后更的,内容会更加详细

1 常见符号

+ + + − - × × ×(C++中作 ∗ * )、 ÷ ÷ ÷(C++中作 / / /)、 √ √ ± ± ± ∣ a ∣ |a| a(绝对值) 、^(指数符号)……
这些是比较常见的,但不一定会全部用到
显然除法可以转化成 a b \frac ab ba,指数符号转化成 a b a^b ab,这样更正式一些

2 m o d mod mod

m o d mod mod,要与一般的%相区分
m o d mod mod意为模意义下结果一定为正
% \% %是一种运算,结果则可以为负
举例:
4   m o d   3 = 1 ( − 4 )   m o d   3 = 2 \begin{aligned} 4\bmod 3 &=1\\ (-4)\bmod 3 &=2\\ \end{aligned} 4mod3(4)mod3=1=2
4 % 3 = 1 ( − 4 ) % 3 = − 1 \begin{aligned} 4 \% 3&=1\\ (-4) \% 3&=-1 \end{aligned} 4%3(4)%3=1=1
m o d mod mod的运算方式是如果数小于 0 0 0 ,不停的加模数直到为正
% \% %是直接对绝对值取模
另外, m o d mod mod一般会与同余符号(≡)相连用

3 同余符号( ≡ \equiv

两个整数 a , b a,b ab,如果 a   m o d   m = b   m o d   m a \bmod m = b \bmod m amodm=bmodm,则称a,b对于模m同余
记作 a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\pmod m ab(modm)
定义

m m m是大于 1 1 1的正整数, a , b a,b ab是整数,如果 m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m(ab),则称a与b关于模m同余,记作 a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\pmod m ab(modm),读作a同余于b模m。

想必这样应该就清楚了吧

4 sigma( Σ \Sigma Σ

∑ i = 1 n i \sum_{i=1}^ni i=1ni
s i g m a sigma sigma这个东西曾经让我看了就烦,看也看不懂,但事实上,后来发现,它其实很好理解
图中的 s i g m a sigma sigma的意思是i取值1(下界)到n(上界)后面的表达式的和,这个公式里的值是 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1 ) + n 1+2+3+···+(n-1)+n 1+2+3++(n1)+n

5 pi( Π \Pi Π

你没看错,这就是pi, π \pi π的大写
∏ i = 1 n i \prod_{i=1}^ni i=1ni
你若是懂了 s i g m a sigma sigma,那么 p i pi pi也就懂了, p i pi pi只不过是换作了阶乘
那么此图中的意义是啥?
没错n的阶乘(!n)

6 mu( μ \mu μ

这个是啥呢,莫比乌斯函数
μ(d)的取值
(1)若d=1 μ ( d ) = 1 \mu(d)=1 μ(d)=1
(2)若d为k个素数的成积(每个素数的次数为一次),那么 μ ( d ) = ( − 1 ) k \mu(d)=(-1)^k μ(d)=(1)k
(3)其它情况 μ ( d ) = 0 \mu(d)=0 μ(d)=0

7 phi( φ \varphi φ

phi在数论中指欧拉函数
定义

小于n的正整数中与n互质的数的数目

有什么用呢?
对于正整数a a φ ( p ) ≡ 1 ( m o d p ) a^{\varphi(p)}\equiv1 \pmod p aφ(p)1(modp)
嗯,其它的有关phi的东西可以去自己找一找哦
提示phi是可以线性筛的,也可以 Θ ( l o g 2 n ) \Theta(log^2n) Θ(log2n)求单个

总结

以上只是众多数论符号的冰山一角,我只能先列这么多啦
其它的一些数论函数我详细的写在数论学习这篇博客里了,在这篇博客里我会对这些函数作出更详细的解释
觉得我写的有问题也可以向我提出哦
update by 2018.12.12: 将各类符号用Latex数学公式进行更新,并对一些内容进行了修正、更改

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