【二分+有源汇上下界最大流】ZOJ3496[Assignment]题解

题目概述

有一个 n 个点， m 条边的网络，每条边可以选一个权值且要求所有边的权值和为 P ，每条边造成的代价为流量*权值。 A 公司决定该网络的最大流， B 公司决定每条边的权值。求：
1. A 公司想要代价尽量小， B 公司想要代价尽量大时的代价。
2. A 公司想要代价尽量大， B 公司想要代价尽量小时的代价。

解题报告

我们会发现 B 公司想要代价尽量大时一定会把权值全部放在流量最大的边上（无论 A 公司怎么决定最大流），同理 B 公司想要代价尽量小时一定会把权值全部放在流量最小的边上。所以 B 公司的决策是固定的，不需考虑。
那么我们就要在 A 公司决定的最大流上做文章，由于要求“最大流量最小”以及“最小流量最大”，所以考虑二分枚举答案 mid 。对于情况1，我们限制最大的流量 ≤mid ，对于情况2我们限制最小的流量 ≥mid ，接下来刷有源汇上下界最大流 MAX ，判断 MAX 是否与初始最大流 First 相等，如果相等，说明 mid 验证成功。
ps：心机出题人竟然出 m=0 的数据，成功卡死了我QAQ，因为 m=0 会让情况2必定验证成功，导致答案出错（ m=0 时显然代价为0）。

示例程序

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=500,maxm=10000+maxn,MAXINT=((1<<30)-1)*2+1;

int te,n,m,S,T,SS,TT,P,num[maxn+5],ful,fst;
struct data {int x,y,z;}a[maxm+5];
int E,lnk[maxn+5],cur[maxn+5],dis[maxn+5],que[maxn+5];bool vis[maxn+5];
struct Edge
{
    int cap,flow,nxt,son;Edge() {}
    Edge(int a,int b,int c,int d) {cap=a;flow=b;nxt=c;son=d;}
};
Edge e[2*maxm+5];

bool Bfs(int st,int gl)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int Head=0,Tail=0;que[++Tail]=st;vis[st]=true;dis[st]=0;
    while (Head!=Tail)
    {
        int x=que[++Head];
        for (int j=lnk[x];~j;j=e[j].nxt)
            if (e[j].cap>e[j].flow&&!vis[e[j].son])
            {
                que[++Tail]=e[j].son;vis[e[j].son]=true;
                dis[e[j].son]=dis[x]+1;
            }
    }
    return vis[gl];
}
int Dfs(int x,int gl,int MIN=MAXINT)
{
    if (!MIN||x==gl) return MIN;
    int flow=0,f;
    for (int &j=cur[x];~j;j=e[j].nxt)
        if (dis[x]+1==dis[e[j].son]&&(f=Dfs(e[j].son,gl,min(MIN,e[j].cap-e[j].flow))))
        {
            e[j].flow+=f;e[j^1].flow-=f;
            flow+=f;MIN-=f;if (!MIN) break;
        }
    return flow;
}
int Dinic(int st,int gl)
{
    int MAX=0;
    while (Bfs(st,gl))
    {
        memcpy(cur,lnk,sizeof(lnk));
        MAX+=Dfs(st,gl);
    }
    return MAX;
}
void Add(int x,int y,int L,int R)
{
    e[E]=Edge(R-L,0,lnk[x],y);lnk[x]=E++;
    e[E]=Edge(0,0,lnk[y],x);lnk[y]=E++;
    num[x]-=L;num[y]+=L;
}
bool check(int L,int R)
{
    E=0;memset(lnk,255,sizeof(lnk));memset(num,0,sizeof(num));ful=0;
    for (int i=1;i<=m;i++) Add(a[i].x,a[i].y,L,min(a[i].z,R));
    for (int i=0;iif (num[i]>0) Add(SS,i,0,num[i]),ful+=num[i]; else
        if (num[i]<0) Add(i,TT,0,-num[i]);
    Add(T,S,0,MAXINT);
    if (Dinic(SS,TT)return false;
    int lst=e[E-2].flow;
    for (int j=lnk[SS];~j;j=e[j].nxt) e[j].flow=e[j].cap,e[j^1].flow=e[j^1].cap;
    for (int j=lnk[TT];~j;j=e[j].nxt) e[j].flow=e[j].cap,e[j^1].flow=e[j^1].cap;
    e[E-2].flow=e[E-2].cap;e[E-1].flow=e[E-1].cap;
    return lst+Dinic(S,T)==fst;
}
LL Solve1()
{
    int L=0,R=0;for (int i=1;i<=m;i++) R=max(R,a[i].z);
    while (L<=R)
    {
        int mid=L+(R-L>>1);
        if (check(0,mid)) R=mid-1; else L=mid+1;
    }
    return (LL)L*P;
}
LL Solve2()
{
    if (!m) return 0;
    int L=0,R=MAXINT;for (int i=1;i<=m;i++) R=min(R,a[i].z);
    while (L<=R)
    {
        int mid=L+(R-L>>1);
        if (check(mid,MAXINT)) L=mid+1; else R=mid-1;
    }
    return (LL)R*P;
}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&te);te;te--)
    {
        E=0;memset(lnk,255,sizeof(lnk));
        scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T,&P);SS=n;TT=SS+1;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z),Add(a[i].x,a[i].y,0,a[i].z);
        fst=Dinic(S,T);
        printf("%lld %lld\n",Solve1(),Solve2());
    }
    return 0;
}