数学：确定性的丧失---第十章 逻辑主义与直觉主义
发信人: paradax (秀树*冬眠中。。。), 信区: Philosophy
标 题: 数学：确定性的丧失(11)
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第十章 逻辑主义与直觉主义
逻辑学派的理论并非不毛之地，它生长着矛盾。
——彭加勒
集合论中悖论的发现，以及意识到其他经典数学中也可能存在悖论，使数学家们开始认
真对待相容性问题了。由于选择公理的任意使用，就提出了这样一个问题，即数学中的
存在意味着什么，而且这一问题备受瞩目。真正的无限集是不是一个合理的概念？在重
构数学基础和开创新的数学分支时，越来越多地使用无穷集合将这个古老的争议重新提
到人们面前，而19世纪后期的公理化运动并没有涉及这个问题。
然而，并不是这些问题和前一章中所述问题，使得数学家们重新对正确的数学基础这一
问题做全面的考虑，这些问题使原来已经冒了烟的观点分歧，变成了白热化的争议。一
些新的带根本性的数学方法，早在1900年之前就被提出来，并在一定程度上给予了仔细
的探讨，但它们并未受到人们的注意，大多数数学家没有认真地对待它们。本世纪最初
的十年中，数学巨人之间为关于数学基础的新数学方法而爆发了一场战争，他们分裂为
两个对立的阵营，并向对方宣战。
逻辑派是这些派别中的一个，其论点简言之，就是所有的数学都可由逻辑推导出来。在2
0世纪初，几乎所有的数学家都认为逻辑法则是一个真理体系。因此，逻辑学家们断言，
数学也一定是一个真理体系，而且由于真理是相容的，因而他们说，数学也一定是相容
的。
像所有的创新一样，这一论点在得到明确的形式和广泛的注意之前，许多人对它做出了
贡献。数学可由逻辑推出这一观点，可以上溯到莱布尼茨。莱布尼茨区分了理性真理（
或必然真理）和事实真理（或称偶然真理）（见第八章），莱布尼茨在写给朋友科斯特
的一封信中解释了这一区别。一个真理是必然的，若它的否定蕴涵着矛盾；如果一个真
理不是必然的，就称它是偶然的。上帝是存在的，所有的直角都相等，这些都是必然真
理。而我本人是存在的，自然界中存在着某种物体，它有一个恰为90°的角，这些则是
偶然真理，它们可能正确，也可能不正确。因为整个宇宙都可能是另一种结构，而上帝
从无数的可能结构中选出了他认为最为合适的。数学真理是必然真理，所以它们一定是
可由逻辑推出的，而逻辑的规则也是必然真理，而且在任何可能的世界体系中都是正确
的。
莱布尼茨没有将由逻辑推出数学这一工作继续下去，在差不多200年的时间里，其他持有
相同见解的人也没有做这件事，例如，戴德金直截了当地肯定，数不是由时间和空间的
感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数，我们才有时间和空间的精
确概念。他开始发展这一论点，但也没有继续下去。
最后，受戴德金的影响，弗雷格发展了逻辑派的理论，他对数理逻辑的发展做出了很大
贡献。弗雷格相信，数学和法则是解析的，它们是蕴含在逻辑原理中的。而逻辑原理是
先验真理，数学定理及其证明说明了什么是蕴含，并不是数学全部都能用于现实世界，
但它当然是包含了理性真理的。弗雷格在《概念演算》（1879年）中，在明确表述的公
理之上构筑了逻辑学。此后在他的《算术基础》（1884年）和两卷著作《算术的基本法
则》（1893年，1903年）中继续从逻辑前提出发，推导算术的概念和数的定义及规律。
从数的规律出发，就有可能推出代数，分析甚至几何，因为解析几何是从代数形式来表
述几何的概念和性质。不幸的是，弗雷格的符号体系对数学家们来说太复杂、太生疏了
，因此他的工作，在当时并没有什么影响。有一个具有讽刺意味的故事。1902年正当《
算术的基本法则》第二卷要付印的时候，他接到罗素的一封信，罗素说他的工作涉及了
“所有集合的集合”这一概念，但这是会导出矛盾的。弗雷格于是在第二卷的结尾写道
：“一个科学家再不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成的时候，它的基础垮掉
了。当这部著作只等付印的时候，罗素先生的一封信，就使我陷入这种境地。”在他写
这部著作的时候，弗雷格并不知道悖论已经被提出来了。
罗素独立地构想出了同样的计划，在他进一步发展它的时候，他发现了弗雷格的工作。
罗素在他的自传（1951年）中说，他也受到皮亚诺的影响，后者是他1900年在第二届国
际数学家大会时遇到的：
这次大会是我的精神生活的一个转折点，因为在那里我遇见了皮亚诺。在此之前，我已
听说过他的名字，也知道他的一些工作。我突然明白了，他的符号提供了我多年来一直
试图寻找的分析的工具，而且，从他那里我获得了一直以来想要从事的工作的一种新的
有效的技术。
在《数学原理》（第一版，1903年）中，他进一步写道：“所有的数学都是符号逻辑这
一事实是我们这个时代最伟大的发现之一……”
在本世纪之初，罗素和弗雷格一样，相信如果数学的基本定理能由逻辑推出，则由于逻
辑一定是个真理体系，那么这些定理也是真理，相容性的问题也将得到解决。在《我的
哲学发展》（1959年）中，罗素说，他试图得到“一种完美的数学，它是无可质疑的”
。
罗素当然知道皮亚诺从有关整数的公理推出了实数，也知道希尔伯特为整个实数系统给
出了一个公理集。然而在《数学哲学导言》（1919年）中，他提到了有点类似于戴德金
的一种策略：“我们所需要的这种假设方法有很多优点；正如窃取总是比诚实劳作来得
快一样。”罗素真正关心的是十或十五条关于数的公理的假设并不能保证这些公理的相
容性与真实性。正如他所说的，这一假设毫无必要地增加了未来之旅的难度。而在本世
纪初，罗素还确信逻辑原理是真理因而是相容的，怀特海（Whitehead）则在1907年提醒
道：“不可能有关于逻辑前提本身的相容性的形式的证明。”
在许多年里，罗素一直相信，逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且
仅为精神所感知的。这种知识是客观的，永恒的，这一立场在他1912年的著作《哲学的
问题》中给予了明确的阐述。
在真理问题上，罗素的意图是要走得比弗雷格更远。年轻时他相信数学揭示了现实世界
的真理，然而，在欧氏几何和非欧几何（它们都与现实世界相吻合（见第四章）却彼此
不相容）中，他却不能肯定，哪一个是真的。在《关于几何基础的随笔》（1898年）中
，他确实找到了一些他认为是客观真理的数学法则，例如物理空间一定是齐次的，即在
任何地方都具有相同性质。然而，一定存在一个客观的真实世界，我们能够得到关于它
的正确知识，对比之下，空间的三维性则只是一个经验事实。因此罗素试图寻找具有客
观真实性的数学规律，而这些规律应是可由逻辑公理推出来的。
在1903年的《原理》中罗素强调了关于数学的客观真理性的立场，他说：“一切关于实
际存在的命题，例如，我们生活其中的空间，都来自于实验或经验科学，而不是数学。
当它们属于应用数学时，它们是通过纯数学的一个命题中的一个或多个变量赋以常数值
而得到的……。”甚至在这一版中，他仍然相信一些基本的客观真理存在于由逻辑推出
的数学中。对于怀疑论者没有绝对真理的观点，罗素回击道，“数学对于这样的怀疑主
义，将永远责难它们，因为真理的殿堂巍然耸立，不会因为任何怀疑的讥讽而有所减损
”。
罗素在他的《原理》中概要说明的思想在怀特海和罗素的详尽著作《数学原理》（共3卷
，第一版1910～1913年）中得到了发展，由于这部著作是逻辑派立场的权威性论述，我
们的说明将以此为本。
这个学派从逻辑本身的展开出发，谨慎地提出一些逻辑的公理，由此推出定理，它们可
以用于以后的推理。和任何公理化理论一样（见第十二章），这个展开是从一些不定义
的概念开始的，这些不定义的概念中有：基本命题的概念，肯定基本命题的真，一个命
题的否定，二个命题的析取，以及命题函数的概念。
罗素和怀特海解释了这些概念，虽然正如他们指出的，这种解释并不是逻辑展开的一部
分，他们所谓的命题和命题函数实际上是皮尔斯已介绍过的。例如：“约翰是人”是一
个命题，而x是人，则是一个命题函数。一个命题的否定是指：“这个命题成立不是真的
”。因此，如果用p表示“约翰是人”这个命题，那么p的否定（记作～p）是指“约翰是
人不真”或“约翰不是人”。两个命题p与q的合取记作p·q，是指p与q都必须为真；两
个命题p与q的析取记作p∨q，是指p或q为真。这是“或”的意思，正如“男人或女人都
可申请”中说的，即男人可以申请，女人可以申请，或者两者都可申请。“那个人是男
人或女人”这句话中，“或”具有更一般的意义，即非此即彼，不能两全。在数学中按
第一个意思来用“或”这个词，虽然有时只有第二种意思是可能的。例如：三角形是等
腰的或四边形是平行四边形”说的是第一个意思。我们也说一个数必为正的或负的，而
关于正数和负数的一些事实说明二者不能都是真的。因此在《原理》中，肯定p或q就是
指p并且q都是真的，或者p不真而q真，或p真而q不真。
在命题之间最重要的一种关系是蕴涵，即一个命题的真强制着另一个命题的真。在《数
学原理》中，定义了蕴涵，记为é，它与弗雷格的实质蕴涵（见第八章）意义相同，即p
éq就是若p为真，则q必真；而若p为假，则不论q为真或假都有péq，即一个假命题蕴涵
任意命题，蕴涵的这一定义至少与可能发生的事是相容的。因此，若a是偶数为真，则2a
必为偶数，而若a是偶数为假，则2a可能为偶数或者（当a是分数时）2a可能不是偶数，
由假命题，a为偶数两个结论都可得到。
当然，必须要有逻辑公理才能推导定理，其中的一些是：
A．一个真的基本命题所蕴涵的命题是真的。
B．(p∨p)ép．
C．qé(p∨q)
D．(p∨q)é(q∨p)
E．p∨(q∨r)éq∨(p∨r)
F．由p的肯定和péq的肯定可得q的肯定。作者们由这些公理出发推导出逻辑的定理。
为说明逻辑本身已形式化，并成为演绎的推理手段，我们来看一下数学《原理》开头的
几个定理。一个定理是，假设p蕴涵p不真，则p不真，这就是归谬原理。另一个定理是，
若q蕴涵r，那么就有若p蕴涵q，则p蕴涵r（这是亚里士多德三段论的一种形式）。一个
基本定理是排中律：对于任意命题p，p是真的或是假的。
在建立起命题逻辑之后，两位作者开始处理命题函数，它们实际上表示的是类或者集合
，因为命题函数用性质来描述集合，而不用把集合中的元素指点出来，例如，命题函数
，“x是红的”这个命题函数就表示所有红色的物体组成的集合。
罗素和怀特海当然希望能够避免由于定义一个包含自身在内作为一个元素的集合而引起
的错误。他们解决这个困难的办法是要求，“任何牵涉着一个集合的所有元素的东西，
都不能成为这个集合的元素”。为了在《数学原理》中实现这一制约，他们引入了层次
理论。
层次理论是复杂的，但其思想是简单的。个体（例如约翰或某一本书）是层次0。关于个
体的性质的断言，是层次1，关于个体性质的命题，则是层次2，每一个断言都比它所描
述的低层的事物层次为高。用集合的术语来说，层次理论说的是个体元素的层次为0；个
体的一个集合层次为1；许多个集合组成的一个集合层次为2；依此类推。这样如果说a属
于b，则b的层次一定比a高，同样，不能说一个集合属于它本身，当把层次理论回到命题
函数上时，情况变得略为复杂一些。命题函数不能由这个函数本身定义的东西作为变元
（变量的值），因此函数就比其变量的层次要高。基于这一理论，两位作者，讨论了当
时的悖论，并且说明层次理论避开了悖论。
层次理论可以避免矛盾的优点用一个非数学的例子可以更清楚地说明。我们来考虑“凡
是规则都有例外”这一叙述引起的矛盾（见第九章），这一叙述是关于“任何书都有印
刷错误”这样的特定的规则的，而关于所有规则的陈述，通常被解释为若用于它本身则
导出了矛盾，即存在没有例外的规则。在层次理论中，一般规则具有更高的层次，因此
，它关于特定的规则的陈述不能用于自己，从而一般规则不一定有例外。
类似地，“它谓”悖论，将那些不能用于自身的词定义为它谓的——是所有它谓的词的
一个总的定义，因此，它比任何一个它谓的词层次都高。所以不能问一个它谓的词本身
是不是它谓的。但可以问一个特定的词，比如，短的是不是它谓的。
说谎者悖论也可以通过层次理论得到解决，正如罗素所指出的，陈述句“我正在说谎”
是指“我正在肯定一个命题，而它是假的”，或“我肯定一个命题p而p是假的”。若p是
第n层的，则关于p的断言，层次是高于n的，因此，若关于p的断言是真的，则p本身就是
假的；而若关于p的断言是假的，则p本身就是真的，但这里并不存在矛盾。用同样的方
法，还能解决理查德悖论。所有这些都涉及到一个关于低层断言的层次更高的断言。
很明显，层次理论需要对语句仔细地按层次加以区别。然而，要想按层次理论来建立数
学，开展起来将极为复杂。例如：在《原理》中，两个东西a和b相等，是指如果对b适用
或b成立的每一命题或命题函数，都对a成立，反之亦然。但是这许许多多的断言是不同
层次的，因而相等这一概念，就相当复杂。类似的，由于无理数是用有理数定义的，而
有理数是用正整数来定义的。无理数比有理数有更高的层次，它们都比整数的层次类型
高，因此，实数系由不同层次的成分构成，于是不能得出关于所有实数的定理，而必须
对每个层次的数分别陈述，因为适用于一个层次的定理，不能自动地适用于其他层次。
层次理论带来的另一复杂命题是关于有界实数集的最小上界的概念（见第九章）。最小
上界定义为所有上界中最小的，因此，最小上界是用实数的集合来定义的，于是它一定
比实数层次高，而它本身不是实数。
为了避免这种复杂性，罗素和怀特海巧妙地引进了约化公理。命题的约化公理认为任何
较高层次的一个命题与一个层次为0的命题等价，命题函数的约化公理认为任何一元或二
元命题函数与一个层次为1，具有相同数目的变元（变元可以是任何层次的）的命题函数
是共存的。这一公理也为支持《原理》中使用的数学归纳法所需要。
在叙述了命题函数之后，两位作者就讲到关系理论，关系是通过两个或多个变量的命题
函数来表示的，这样“x爱y”就表示了一种关系。由关系理论得出用命题函数定义的明
确的类或集的理论，在此基础之上作者们将要引入自然数（正整数）的概念。
自然数的定义当然是有点意思的，它依赖于先前引入的类之间的一一对应关系。如果两
个类是一一对应的，则称其为相似的。所有相似的类，具有一个共同性质：它们的元素
个数相同，而且相似的类可以有多个共同的性质。罗素和怀特海在这一点所做的，正如
弗雷格做过的，是把一个类的元素个数定义为所有与之相似的类所组成的类。这样，3这
个数目就是所有的三元素类所组成的类，而三元素的记号是｛x，y，z｝，其中x≠y≠z
。因为数目的定义事先假定了一一对应的概念，看起来这个定义似乎是循环的，但是，
作者指出，一个关系是一一的，如果当x和x′都对y′有这个关系时， x与x′必是恒同
的，而当x对y和y′都有这个关系时，y与y′必是恒同的。因此，一一对应的概念，并未
牵涉到数目1。
有了自然数以后，就能建立起实数系和复数系、函数以及全部分析。几何可以通过数用
坐标和曲线方程来引进，然而，为了实现他们的目标，罗素和怀特海又引入了两条公理
。为了定义自然数（以命题函数的形式）以及更为复杂的有理数，无理数及超限数，怀
特海和罗素引进了无穷类存在的公理（类已由逻辑术语适当地定义）和层次理论所需的
选择公理（见第九章）。
这就是逻辑派的宏大计划，他们在逻辑上的工作有很多可说的，我们在这里只是一带而
过。我们必须着重指出的是，他们在数学上的工作，就是要把数学奠定在逻辑的基础上
，不需要任何数学公理，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延展。
逻辑派的做法受到很多指责，约化公理激起了反对，因为它显得太任意了。尽管没有证
明说它是错的，可也缺乏证据说明它的正确性。它曾被说成是可喜的，意外的，而不是
逻辑必需的。拉姆赛尽管是支持逻辑派理论的，但他也用这样的话来指责其公理：“这
样的公理在数学中是没有位置的；任何不用它就不能证明的东西，根本就不能看成是得
到了证明”。另一些人说，这个公理是智力的廉价品。魏尔则明确宣布放弃这个公理。
有些评论称，这个公理重新引入了非断言定义。也许最重要的问题是它究竟是不是逻辑
的公理，以及由此提出的数学是建筑在逻辑基础之上这一论点是否确实可靠。
1909年彭加勒说：约化公理比数学归纳法更靠不住，更含糊不清，前者实际是用后者来
证明的，它是后者的另一种表现形式。但是数学归纳法是数学的一部分，是构筑数学大
厦必需的。因此，我们不能证明其相容性。
罗素和怀特海在《原理》第二卷第一版（1910年）中说明引入这一公理的理由是为了得
到某些特定结果。很明显地，他们为使用了这个公理而不安，这里是作者为它作的辩解
：
说到约化公理，既然它支持的推理和由它产生的结果，看起来都是合乎情理的，所以直
觉上它应该是正确的，然而尽管不大可能证明它是错误的，却也不大可能证明它是由一
些基本或更明显的公理推导出来的。
后来，罗素自己也很关心约化公理的使用，在他的《数学哲学导论》（1919年）中，罗
素说：
从严格的逻辑化来看，我找不出任何理由来相信约化公理是逻辑必然的，这就是说，它
在所有可能的世界中都是真的。因此，在逻辑体系中，承认这个公理是个缺憾，即使从
经验来看是真的。
在《原理》的第二卷第二版（1926年）中，罗素重新叙述了约化公理，但这产生了一些
新的困难。比如，不允许高阶无穷，省去了最小上界定理，并使得数学归纳法的使用更
为复杂。罗素再一次说明他希望能从更明显的公理中推导出约化公理，然而他又一次承
认其是逻辑的缺憾。罗素和怀特海在数学《原理》的第二版中一致认为，“这个公理有
着纯粹的实际的合理性，它导出想要的结果而不是其他。”他们也意识到它能导出正确
结论的事实并不是一个很有说服力的论据，因而做了各种尝试，把数学归结为不含约化
公理的逻辑。但他们并没有深入地探讨，而且有些作法被批评为引入了错误的证明。
对逻辑基础更多的批评，指向了无穷公理。批评的焦点在于，整个数学的结构根本上是
建立在这个公理的正确性之上，然而却没有丝毫理由来相信其真理性。更糟的是，根本
没有办法对其真理性做出判定。而且，它是不是个逻辑公理也还是个问题。
凭心而论，应该指出的是，罗素和怀特海对于将无穷公理作为逻辑公理也很踌躇，他们
被这个公理的内容具有“真实的外表”这一事实所困扰，困扰他们的不仅仅是它的逻辑
性，还有它的真实性。《数学原理》中术语“个体”的一种解释是构成宇宙的终极粒子
或元素，这样一来，尽管无穷公理是以逻辑术语表述的，它却似乎提出了这样一个问题
，即宇宙是否由有限个或无限个终极粒子构成的，这个问题或许物理学能够回答，但肯
定不是数学或逻辑学所能回答的。然而，如果引入无穷集，如果要证明用无穷公理推导
出来的数学定理是逻辑定理，似乎就必须将它作为一个逻辑公理来接受，简而言之，如
果将数学“归结”为逻辑，那么，逻辑似乎就一定要包含无穷公理。
罗素和怀特海，还使用了选择公理（见第九章），他们称之为乘法公理：给定一个不相
交类（互斥类）的类，且它们中没有空类，则存在一个类，恰由每个类中的一个元素组
成。我们知道，这个公理所引发的讨论和非议，比其他任何公理都多——除了欧几里得
的平行公理。罗素和怀特海为选择公理同样感到不安，他们不能说服自己把它和别的逻
辑公理同样地当作逻辑真理。然而，若将由这个公理推出的经典数学归结为逻辑，同样
也只有承认它是逻辑的一部分。
约化公理、无穷公理及选择公理的使用，对整个逻辑的观点，即数学可以从逻辑推导出
来，提出了质疑：逻辑与数学的区别在哪儿呢？逻辑派观点的拥护者说，《数学原理》
中所用的逻辑是“纯逻辑”或“纯化了的逻辑”；另一些人则对于三个有争议的公理耿
耿于怀，对所用的逻辑的“纯粹性”提出疑问，因此他们否认数学甚至数学的任何一个
重要分支已被归结为逻辑。有些人则愿意将逻辑一词的意义加以推广，使它能包含这些
公理。
罗素是坚定的逻辑派观点的捍卫者。有一个时期他为他和怀特海在《原理》第二卷第一
版中所做的一切作辩解，在《数学哲学导论》（1919年）中他说：
（数学和逻辑的）同一性的证明，当然是细节问题。从逻辑和数学共同接受的前提出发
，用演绎的方法得到显然是数学的结果，我们就会看出，不可能画出一条清晰的分界线
，其左边是逻辑，右边是数学。如果还有些人不肯承认数学和逻辑的同一性，我将提请
他指出，在《数学原理》的一系列定义和推导中，他们认为在哪儿是逻辑的结束，哪儿
是数学的开始。显然，任何答案都不可能是准确的。
考虑到20世纪初时关于康托尔的工作和选择公理以及有关无穷公理的非常尖锐的争论，
罗素和怀特海没有限定把这两个公理作为他们的整个系统的公理，而只是在特定定理中
用到了这两个公理（《数学哲学导论》1926年，第二版）。然而，有很大一部分经典数
学的推导必须用到它们，在《原理》第一卷的第二版（1937年）中，罗素已放弃了最早
的观点。他说：“什么是逻辑的原理，已经变得相当任意了”。无穷公理和选择公理“
只能通过经验来证实或否证”。不过，他仍然坚持逻辑和数学是统一体。
然而，批评并未就此中止，魏尔在《数学和自然科学的哲学》（1949年）中说，《原理
》中数学的基础
不仅仅是逻辑，还有一种逻辑学家的天堂，一个具有某种结构极为复杂的，“终极内涵
”的宇宙。……有哪个头脑现实的人会敢说他相信这个超自然的世界呢？……这个复杂
的结构对我们信仰力量的压制，并不亚于早期教会神父或中世纪经院哲学的教条。
还有一个关于逻辑主义的批评，尽管在《原理》的三卷中都没有发展几何学，但很清楚
，正如我们前面提到的，使用解析几何就可以做到这一点。不过，也有人指出说，《原
理》通过归约为自然数的公理集，就把算术、代数和分析归约为逻辑，但是数学的“非
算术”部分，例如几何、拓扑学和抽象代数，并没有归约为逻辑。这一观点被逻辑学家
卡尔·汉普尔(Carl Hempel)接受，他说：尽管在算术中可能“以纯逻辑概念的术语”给
未定义概念或原始概念赋以习惯的意义，“类似的过程却不能用于非算术派生的那些规
则中”。另一方面，逻辑学家奎因(Willard Van OrmanQuine)则认为“数学可以归约为
逻辑”。因为对几何来说，“一种约化为逻辑的方法唾手可得”，而且拓扑学和抽象代
数“符合逻辑的一般结构”。罗素本人则怀疑是否能单从逻辑推出所有的几何。
对于整个逻辑派的观点，还有一种严厉的批评。即：假如逻辑派的看法是正确的，那么
，全部数学就是一种纯形式的，逻辑演绎的科学。它的定理遵循思维的规律，而思维规
律所做的精巧的演绎，是如何表示广泛的自然现象，数的运用、空间几何、声学、电磁
学以及力学的，则似乎无法解释。魏尔就此讥讽逻辑派是从无到无。
彭加勒也同样对其认为是无意义的逻辑符号操作持批评态度。关于他的观点，我们在后
文中将给予更多的描述。在1906年的一篇随笔中（这时罗素和希尔伯特已经对他们的方
案给出了充分的描述），他说：
这门科学（数学）不必单只为了自己的缘故而永久地注视着自己的肚脐；它与自然相联
，而且必然会有回归自然的一天。那时必然要将这些纯语言的定义抛弃，而且不会再为
这些空洞的词语所蒙蔽。
在同一篇随笔中，彭加勒还说：
逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，
这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己
的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜
利，这是一定的，并且永远不会停止。
另一种对逻辑派的严肃批评断言，在数学的创造中，感性的或想象的直觉必须提供新的
概念，而不管它是否来自于经验。否则的话，新的知识从哪里产生呢？但是在《原理》
中，所有的概念都归约为逻辑概念。形式化显然在任何实际意义下，都不能表示数学，
它只有外壳，没有内涵。罗素本人在另一场合曾说：数学是这样一门学科，在其中我们
永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。这就可以用来反驳
逻辑主义。
新的思想如何被引入数学？如果数学的内容可以全部由逻辑推出，那它怎么能用于现实
世界？对此并不容易回答，罗素和怀特海也没有给出回答。逻辑主义不能解释为什么数
学适用于物理世界这一论点被数学适用于基本物理原理这一事实反驳了。而这一点，只
要涉及到实在，就成了前提。数学技术勾画出物理原理的含义，譬如说PV=常数，F=ma。
这结论仍然适用于物理世界，这就产生了疑问：为什么世界符合数学推理呢？我们后面
将要回到这个问题上来（见第十五章）。
在《数学原理》第二版出版后的几年中，罗素继续考虑逻辑派的方案，在1959年的《我
的哲学发展》中他承认他的哲学发展，就是由逐步放弃“欧几里得主义”到尽可能地拯
救其确实性构成。毫无疑问，对逻辑主义的批评，影响了罗素后来的思想。本世纪初罗
素刚开始他的工作时，他认为所有的逻辑公理都是真理。在《数学原理》 1937年的版本
中，他放弃了这个观点，他不再相信逻辑的原理是先验真理，而数学是从逻辑推导出来
的，所以它也不是先验真理。
如果逻辑的公理不是真理，那么逻辑主义就没有回答数学的相容性这一最为重要的问题
。含义模糊的约化公理使相容性陷入了更大的窘境。在《数学原理》的第一、二版中，
罗素对于接受约化公理的原因是：“由它可以推出许多毋庸置疑的命题，如果约化公理
是错的，那就没有同样可信的方法可以保证这些命题的正确性了，并且从它也推不出什
么可能错误的命题”。罗素解释的这番原因，实际上并没有什么意义。《数学原理》中
接受的（在许多逻辑系统中也接受的）实质蕴涵，甚至当其原命题不成立时，也允许蕴
涵成立。因此如果一个假命题P被作为公理引入，则p隐含g可以在此体系中成立而且g仍
然可能真。既然在《数学原理》的逻辑中，一个“不容置疑”的命题，可以从一个错误
的公理中推出来，因此，这样一个论点是毫无意义的。
《原理》受到许多方面的批评，我们在上面并没有给予明确的考虑。型的分层证明是有
效的和有用的，但它是否完全达到了它的目的，我们并不确定。型的方法的引入是为了
防止产生悖论，而且它确实有效地阻止了集合论和逻辑中已知悖论的产生，但这并不能
保证不会出现新的悖论，届时型的分层恐怕也于事无补。
然而，有些卓越的逻辑学家和数学家，例如奎恩和丘奇(Alon-zo Church)尽管对逻辑主
义的现状有所指责，却仍大力倡导它。许多人从事着消除其缺陷的工作。一些并不全然
赞同逻辑主义观点的人说，逻辑，继而数学，是分析的，也就是说，它仅仅是对公理所
陈述的扩充。这样，一些逻辑派方案的热心支持者，转而去寻找消除它引起反对的原因
和它发展中的一些冗赘之处，这被一些人视之为遥不可及的理想。还有一些人，攻击它
是完全错误的数学概念。总而言之，就那些可疑的公理和冗长而复杂的发展来看，批评
者们有充分理由说逻辑主义是由不确定的假设来推出已知结论的。
另一方面，罗素和怀特海的工作确实做出了贡献。逻辑的数学化始于19世纪后期（见第
八章），罗素和怀特海进行了一次彻底的完全符号形式的逻辑公理化运动，从而大大推
动了数理逻辑这门科学。
对逻辑主义也许可以用罗素在《记忆之像》中的一段话作为最后的总结：
我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性，我想在数学中比在任何其他地方更能找到确定
性。但我发现，许多数学证明——我的老师希望我接受——却是错误百出。而且，假如
真的在数学中找到了确定性，那它一定是数学的一个新领域。它有比迄今为止认为是安
全的领域更加坚实的基础。但当工作进行时，我不断地想到大象和乌龟的寓言。把大象
置于整个数学的基础上之后，我发现大象摇摇欲坠，于是再造一个乌龟来防止大象倒下
，但这乌龟不比大象更安全。而在经过20年左右的艰苦工作后，我得出的结论是，在对
于使数学更确信无疑这一工作上，我已无能为力。
在《我的哲学发展》（1959年）一书中，罗素承认“一直以来，我希望在数学中找到的
绝对的确定性消失在一个令人迷惑的迷宫中了。……它确是一个复杂的概念的迷宫。”
而这也不是罗素一人的不幸。
正当逻辑主义形成之时，一群称为直觉主义者的数学家们使用了截然不同、全然相反的
方法来证明数学的确定性。逻辑主义者越来越依赖于精巧的逻辑来加固数学的基础。而
另一些人却在偏离甚至放弃逻辑，这真是数学史上最富矛盾的一件趣事。从某一方面来
说，二者追求的是同一目标。19世纪后半期的数学从阐述现实世界设计的固有法则这一
意义上来说，已经放弃了对真理的追求。早期的逻辑主义者，特别是弗雷格和罗素，相
信逻辑是一个真理体系。因此，如果数学确实是建立于逻辑之上，则它也是真理体系，
尽管他们最后从这一立场退到了只要实用认可的逻辑原理上。直觉主义者则通过唤醒人
们内心所确认的约束意识来寻求数学真理。从逻辑原理所推导出来的东西，不比直接感
悟的更可信，悖论的发现，不仅肯定了逻辑主义不可信，也促进了明确的直觉主义观念
的形成。
从广义的角度来讲，直觉主义可以追溯到笛卡尔和帕斯卡。在《思维的指导法则》一书
中，笛卡尔说：
我们不惮错漏地在此公布知性上升为知识的途径，这样的途径有两种：直觉和演绎。我
所说的直觉并非各种感觉的验证，也不是被自然而然夸大的想像的错误判断，它是来自
于缜密的头脑中的概念。它是如此清晰和明白，对于它所理解的东西，根本不含任何可
疑之处，或者说——两种说法其实是一样的——审慎而缜密的头脑中自明的概念，是仅
由理性获得的概念，并且因为更简单而比演绎本身更确定。尽管我们在前文中所说，在
演绎过程中，人的头脑也不会出错。因而，我们每个人都可凭直觉知道：我们存在、我
们思考、三角形仅由三边围成、球面由单面所围成、以及如此种种。
……
也许有人要问，为什么要在直觉中加入这种由演绎得来的其他类型的知识，也就是说，
加入了从我们对其有确定知识的事物中得到其必然结果的过程。我们不得不采用这第二
步，因为对于许多并不是自明的事物，只要它们是从真理和无可争辩的原理中而来，并
经过连续不可分的思维活动（对每一件事都有清楚的直觉）得到，那么它们就会打上确
定性的烙印。正如这样一种情况：尽管我们不能在一瞥之间就把一条长链中的所有中间
环结尽收眼底，但如果在依次看过以后，我们能回想起它们从头到尾都是一环扣着一环
的，那么，我们就可以知道最后一环和第一环是连在一起的。这样，我们将直觉和演绎
区分开来，因为在后一种情况中我们构想了某种步骤或顺序，并且与前一种情况中的不
同。……由此，我们便通过直觉或演绎（这要取决于我们如何看待它们）得到直接出自
于原理的命题。尽管这些原理本身只能由直觉知晓，而稍远的结果则只能依靠演绎得到
。
帕斯卡也十分相信直觉，在数学研究中，他表现出了极强的直觉力，他预见到了重大的
结果，作出了超人的猜测，并找到了捷径。后来他视直觉为一切真理的源泉，在这方面
他的一些话久已闻名于世。“心有其理，非理之所能知。”“推理是那些不明真理的人
用以发现真理的迟钝、愚笨的方法。”“孱弱无能的理智啊，你该有自知之明”。
从很大程度上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。尽管他主要是个哲学家，但康德
于1755年1770年间却在哥尼斯堡大学教授数学和物理，他认为我们的所有感觉都来自于
一个预先假定的外部世界。然而，这些感觉或感性知识并不能提供多少知识，所有感性
知识都包含了感知者和被感知物体间的相互作用。心智将这些感性知识梳理清楚，得到
对空间和时间的直觉。空间和时间并不是客观存在的，而是心智的创作。心智，为经验
提供了对空间和时间的理解，而经验只是唤醒心智。知识可能是从经验开始的，但并不
真正来源于经验，而是来源于心智。独立于经验，我们可以在先验的或真正的知识中前
进多远，数学是其光辉的例证。康德称这样一种方法为综合方法。即它能够提供新的知
识，而分析的命题，例如“所有物体都是可延展的”，并不能提供新的知识，因为延展
性是物体固有的属性。相反，直线是两点间的最短距离，这一命题是综合的。
尽管康德在肯定欧氏几何是先验综合真理这一点上是错误的，这却是他那个时代中哲学
家和数学家普遍信奉的观点。由于这一错误，后起的哲学家和数学家便对他的哲学体系
抱怀疑的态度。然而，康德关于时间是直觉的一种形式的分析，以及心智提供基本真理
的普遍观点却具有经久不衰的影响力。
如果数学家们对笛卡尔、帕斯卡、康德这些人的观点了解得更多一些，他们就不至于被
直觉派的思想所震慑，至少在刚开始的时候，这种思想被认为是过于偏激了。不过，笛
卡尔、帕斯卡或康德都没有提供一种对全部数学的直觉方法，就数学基础的方法而言，
直觉主义确实是现代的。
现代直觉主义最近的先驱是克罗内克，他的警句（在一次餐后演说中所说）“上帝创造
了整数，其他的都是人的工作”广为人知。在他看来，像康托尔和戴德金通过一个一般
集合论得出的普通整数的复杂的逻辑推导，比直接接受整数还不可靠。因为在直观上这
是清楚的，而且无需更可靠的基础。除整数外，所有的数学结构必须建于具有清楚意义
的术语的基础之上。克罗内克建议把实数系统的结构建立在整数和可以计算实数的方法
基础之上，而不是仅仅给出一个一般的存在定理，因此，他接受了无理数，因为它们是
多项式方程的根，且是可以计算的。
康托尔证明了存在超越无理数，即不是代数方程的根的无理数。 1882年，林德曼(Ferdi
nand Lindermann)，证明了π是一个超越无理数，就此，克罗内克对林德曼说“你那关
于π的美妙的探讨有何用处呢？既然根本不存在这样的无理数，为什么要研究这样的问
题呢？”克罗内克并不是否认所有的无理数，而仅仅是针对那些不能提供怎样计算的证
明的。林德曼的证明不是构造性的，事实上，借助于π的一个无穷级数表示式，π可计
算到小数点后的任意位，但克罗内克并不接受这个级数的导数。
克罗内克只承认“潜无限”，因此，他拒绝接受无穷集和超限数。他认为：康托尔在这
一领域的工作不是数学，而是玄学，经典分析只是文字游戏而已。他应该加上这么一句
：如果上帝还有另一种数学，他应为他自己而创建。克罗内克陈述了自己的观点，但并
未继续发展下去，也许，他对自己偏激的观点并不是太认真。鲍莱尔、贝尔、勒贝格可
称为半直觉主义者，他们对选择公理的反对我们已有论述。他们把实数系作为基础，他
们的详细观点颇具历史意义。因为，尽管他们关于具体的事物有着自己的看法，但他们
都没有能深化一门系统的哲学。彭加勒与克罗内克一样，认为不必定义整数，或在公理
基础上构造它们的性质。因为我们的直觉先于这一结构而存在。彭加勒还认为，数学归
纳法并不真正保证结论的普遍性和新结果的产生，它听起来是直觉的，但却不能把这一
方法归结为逻辑。
彭加勒认为，数学归纳法的本质还需要检验，因为它至今仍是争论的一个核心。用这种
方法，例如，要证明对所有的正整数π有
需要证明n=1时结论为真，然后证明若对于正整数k结论成立，则对于k+1也成立。因此，
彭加勒提出，这种方法引入了无限多个变量。这种方法肯定，由于(1)在n=1时为真，故n
=2时为真。由于n=2为真，则n=3时为真；如此类推，对所有的正整数都为真。由于没有
容括无限个变元的逻辑原理，因而归纳法并不能从这样的原理推出。因此，彭加勒认为
相容性并不能由所谓的数学到逻辑的归约得到证明。
至于说到无穷集，彭加勒认为“真正的无限并不存在，我们所说的无限，只是无论已有
多少物体存在，但创建新的物体的无穷的可能性仍存在。”
彭加勒全然反对繁杂的符号逻辑方法，在他的《科学与方法》中，他甚至讥讽它。他说
到了布拉利-福蒂在1897年的一篇文章中对整数的定义简直是个符号的迷宫。彭加勒说，
这对于从未听说过数1的人来说，是个绝好的定义。他又进一步地说：“我很担心，这个
定义包含了一个预期理由①，因为我注意到了其前半部分的数1和后半部分的字非。”
彭加勒接着便援引了库蒂拉这位早期的逻辑主义支持者关于零的定义，零是“空类的元
素个数。那么什么是空类呢？空类是不含元素的类。”库蒂拉接着又给出了符号化的定
义。彭加勒解释说：“零是满足一个永远不能满足的条件的物的数目。但是因为‘永远
不能’指的是‘在任何情况下都不’，我无法看出这里有任何大的进步。”
随后，彭加勒批评了库蒂拉关于数1的定义。库蒂拉说，1就是任何两个元素都相同的类
的个数。“但是，如果我们问库蒂拉，2是什么时，恐怕他又不得不使用1了”。
直觉主义的创始人，克罗内克、鲍莱尔、勒贝格、彭加勒和贝尔都是数学巨匠，他们对
标准数学证明和逻辑派的方法提出了大量的批评，他们提出了新的原理，但其成就却是
零星和不完整的。他们的观点由荷兰数学教授、也是直觉主义哲学的奠基人布劳维并入
了一个明确的阐述中。布劳维在他的博士论文《论数学的基础》（1907年）中提出直觉
主义哲学。从1918年开始他在许多杂志上阐述和发展了他的观点。
布劳维在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。数学是起源和产生于头脑的人类活动
，它并不存在于头脑之外，因此，它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直
觉，这些直觉不是感觉或经验上的，而是对某些数学概念直接的确定，其中包括整数。
基本的直觉是对一个时间序列中的不同事件的确认，“当时间进程所造成的贰性(twones
s)的本体，从所有的特殊事件中抽象出来时，就产生了数学。所有这些贰性的共同内容
所留下来的空洞形式就变成数学的原始直觉，并且由无限反复而产生了新的数学对象。
”布劳维认为无限反复意指自然数的连续序列的形成。康德、哈密尔顿（在他的《代数
：时间的科学》中）以及哲学家叔本华(Arthur Schopenhauer)都曾坚持整数来源于时间
的直觉这一思想。
布劳维认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只
受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。这种基本的直觉概念不应被理解为像在公
理理论中的那种未下定义的概念，而应设想为某种东西，只要它们在数学思维中确实是
有用的，用它就可以对出现在各种数学系统中的未下定义的概念做出直观上的理解。另
外，数学是综合的，它包含的是真理而不是推导出逻辑的隐含意义。
布劳维认为“要在这个构造过程中发现数学唯一可能的基础，必须再三思考，反复斟酌
：哪些论点是直觉上可接受的，头脑中所自明的；哪些不是。”是直觉而不是经验或逻
辑决定了概念的正确和可接受性。当然，必须记住，这一陈述并未否认经验所起的历史
作用。
除了自然数以外，布劳维坚持认为加法、乘法和数学归纳法在直觉上是清晰的。而且，
当头脑已获得自然数1，2，3……的概念后，使用“空洞形式”无限重复的可能性，从n
到n+1的步骤，就产生了无穷集合。然而，这种集合只是潜无穷，因为对于任一给定的有
限数集，总可以加入一个更大的数。布劳维否定了康托尔的所有元素都“一下子”出现
的无限集，并因此否定了超限数理论、策梅罗的选择公理以及使用了真正的无限集的那
部分分析。在1912年的一次演讲中，布劳维确实接受了直至ω的基数和可数集。他还承
认了由有理数序列无规则排列所定义的无理数，即“自由选择的序列”。这一定义是模
糊的，但确实给出了一个实数的不可数集。而在另一方面，几何则涉及到了空间，因此
，它不像数那样是完全受我们头脑支配的，综合的几何学属于物理科学。
关于无穷集的直觉派的观点，直觉主义者魏尔在1946年的一篇文章中写道：
数目的序列，其增长超过任何一个已达到的阶段，……它是一簇开向无穷的可能性；它
永远处于创造的状态中，并不是一个本来就存在的封闭王国。我们盲目地把一个转换为
另一个，这正是我们的困难（包括那些矛盾）的真正根源——这是比罗素的恶性循环原
理所指出的更为基本的根源。布劳维让我们睁开了双眼，他使我们看到：在超越一切人
类所能实现绝对信仰中培育起来的经典数学走过了头，它与那些可称为真实意义和真理
（以显明为基础）的命题间究竟有多远。
布劳维接着讨论了数学与语言的关系。数学是一个完全自足的活动，它独立于语言，措
辞和语言表达只是为了阐述真理，数学思想更深地扎根于人脑中而不是在语言中。数学
直觉的世界与感知的世界相对，语言作为理解一般事物的工具存在于后者中，而不是数
学中。语言通过符号和声音唤起人脑中思想的摹本，其区别类似于爬山的行动与用语言
来描述这一行动之间的区别。但是数学思想不依赖于语言的外衣，并且事实上要更为丰
富。就算采用了包括符号语言的数学语言，思想也无法被完全地表述出来。此外，语言
与真正数学的主旨也是大相径庭的。
更有意思的是直觉主义关于逻辑的立场，这一点在它反对逻辑主义时尤为突出。逻辑属
于语言，它提供了一套规则体系，用以导出更多的词语关系，这也是为了交流真理。然
而，这里所说的真理在被从直觉上领悟之前并不是真理，而且也并不能保证它一定能被
领悟到。逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不
能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段
，或者说，它们是语言的表现理论，逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦。数学上最重要
的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，
而不是数学依赖于逻辑。逻辑远不如我们的直觉概念可靠，数学也并不需要逻辑来保证
。历史上，逻辑原理是从有限的物体集合的经验中抽象出来的，而又符合一个先验的有
效性，于是，也就适用于无限集合了。
由于布劳维不承认任何先验的，有约束力的逻辑原理，也不承认这种从公理推导结论的
数学工作，因此他拒绝接受19世纪后期的公理化运动和逻辑学派。数学不受逻辑规则的
限制，懂得数学并不需要懂得形式的证明，由于这一原因，那些悖论变得无足轻重。悖
论是逻辑而不是真正的数学的缺陷，因此，相容性这个魔鬼没有任何的意义。相容性肯
定是正确思想的结果，这些思想是有意义的，其正确性可以通过直觉来判定。
然而在逻辑的领域中确有一些清晰的、直观上可接受的逻辑原理或程序，它们可以用来
从老定理中确定新定理，这些原理是基本数学直觉的一部分。可是并非所有的一般逻辑
原理都可被基本直觉所接受，我们对从亚里士多德时代以来就被接受的逻辑原理必须要
有所判别。数学家们一直是过于随便地使用着有限制的亚里士多德法则，以至于导致了
自相矛盾。直觉主义者会问，在处理数学结构时，如果偶尔忽略了直觉而工于语言结构
，那么什么又是允许的或安全的呢？
因此，直觉主义者们对哪些逻辑原理是允许的进行了分析，以使通常的逻辑与正确的直
觉一致并能把它正确地表达出来。布劳维引用了排中律——这个被用得过于随便的逻辑
原理为例。这个原理在历史上起源于推理在有限集合上的应用，并由此抽象而来。它肯
定两个有意义的断言或真或假，后来它就被认为是一条独立的、先验的法则，并且不加
证明地被应用到无穷集合上去了。对于有限集可以通过检验每一个元素来判断是否所有
的元素都具有某个特定的性质，而对于无限集合这个规则则不可实现。我们可能碰巧得
知一个无限集合中的某个元素不具有这个性质，或者通过构造某种集合得知或证明每个
元素都具有这个性质。但无论如何，我们都不能用排中律来证明这个性质是成立的。
这样，如果有人证明了在一个无限整数集中，不是所有的元素都是偶数，而得到至少存
在一个奇数的话，该结论将被布劳维所否定，因为这一论证把排中律应用于无限集合。
但是，此类论证在数学实体的存在性证明中被广泛地采用，例如在证明每个多项式方程
都有一个根中（见第九章）就用到了它，因此许多存在性证明是不为直觉主义者所接受
的。他们说，这样的证明对假定存在的实体来说太模糊了，排中律只可用于有限集合的
情况。因此，对于一个有限整数集，如果证明了不是所有的元素都为偶数，那么就可以
得出至少有一个为奇数的结论了。
魏尔对直觉主义关于逻辑的观点做了如下扩充：
根据他（布劳维）的观点和对历史的知识，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提
取出来的。……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全
部数学的某种东西，从而最终不加证明地将其应用到无限集合的数学中去。这是集合论
的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚。令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而
是矛盾出现得如此之晚。
后来魏尔又补充道，“排中律可能对上帝来说是有效的，他能够一下子检查完自然数的
无穷序列，而对于人的逻辑，这一点却是做不到的。”
布劳维在1923年的一篇论文中给出了一些定理的例子。如果我们否定排中律在无限集合
上的应用，那么这些定理就是不成立的。①尤其是波尔查诺-维尔斯特拉斯(Bolzano-Wei
rstrass)定理——每个有界无穷集有一极限点——是不能证明的。闭区间上连续的函数
存在极大值也是不能证明的。还有海涅-鲍莱尔(Heine-Borel)定理，即从任一个包含或
覆盖一个点的区间的区间集中可选出有限个覆盖该区间的集，也遭到了否定。当然，这
些定理的推论也是不可接受的。
除了反对不受限制地使用排中律来建立数学实体的存在以外，直觉主义者还提出了另一
要求。他们反对用所有元素的属性来定义集合，例如，用红色这个属性来定义集合。直
觉主义者认为适于进行数学讨论的概念或对象——确实存在的对象——必须是可构造的
；也就是说，必须给出一种方法来在有限步骤内举出一个或多个实体，或者一种能将其
计算到任意精度的方法②。这样，π是可以接受的，因为我们可以把它计算到任意小数
位。如果只是证明了存在整数x、y、z、n满足在n≥2时，xn+yn=zn，但并未将这些数具
体化，那么，直觉主义者是不会接受这一证明的。另一方面，素数的定义是构造性的，
因为可以用有限的步骤确定一个数是否为素数。
我们来考虑另一个例子。孪生素数是两个形如l—2和l的素数。例如，5和7，11和13等等
。是否存在无穷多对这样的孪生素数在数学上一直是悬而未决的问题。让我们任意定义
一个使l—2也是素数的最大素数l，如果这样的l不存在，则定义l=1。经典主义者认为l
的定义是无懈可击的，不论我们是否知道有最后一对这样的孪生素数存在。因为，由排
中律可知，这样的最后一对数要么存在，要么不存在。在第一种情况下，l是使l—2为素
数的最大素数。而在第二种情况下l=1，我们不能实际计算出l的这一事实对于非直觉主
义者来说是无所谓的。但是直觉主义者不接受上述l的“定义”是有意义的，除非可以计
算出l，即除非是否存在无穷多对孪生素数这一问题得以解决。用选择公理构造无穷大的
集合也是不被接受的。上面的一些例子说明：有些存在性证明不是构造的。因此，除了
它们可能用了排中律以外，还有其他的理由来拒绝接受它们。
魏尔认为，非构造性的存在证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其地点。当用这样的
证明来代替构造性证明时，其重要性和价值不可能毫无损减。他还指出，坚持直觉主义
哲学意味着放弃经典分析的基本存在定理。魏尔称康托尔有关超限数等级的论述有如雾
中之雾。他在《论连续》（1918年）中写道，分析是建立在沙地上的楼阁，只有由直觉
方法建立起来的东西才是确定的。
对排中律的否定产生了一种新的可能性——不可判定的命题。对于无穷集合，直觉主义
主张还有第三种状况，即可以有这样的命题，既不是可以证明的，也不是不可以证明的
。他们给出了下面的例子：让我们定义π的十进制展开式的第k位出现了第1个零，其后
依次跟着1到9这些整数。亚里士多德的逻辑认为k或者存在，或者不存在。遵循亚里士多
德的数学家则以此两种可能性为基础进一步进行论证。布劳维和直觉主义者普遍反对所
有这类论证，因为我们并不知道我们是否能够证明k存不存在。因此，根据直觉主义者的
观点，一些明白而重要的数学问题永远不能在任何一种数学基础上得到解决。这个问题
对于我们来说似乎是可以断定的，但实际上我们信念的基础只不过是因为它们涉及到了
过去已经断定了的数学概念和问题。
按直觉主义者的观点，关于实数系、微积分、现代的实函数理论、勒贝格积分以及其他
方面的经典结构和逻辑主义结构是不可接受的。布劳维和他的支持者们没有局限于批评
，而是试图把数学建立在他们所描述的结构的基础之上。他们成功地挽救了上述学科的
一部分，但是他们的结构过于复杂。就连魏尔也抱怨说，这些证明笨拙得令人难以忍受
。另外，直觉主义者还重构了代数和几何的基础部分。
然而，重构工作进展缓慢。因此，希尔伯特在他的《数学的基础》（1927年）一文中说
，“与现代数学的突飞猛进相比，直觉主义者所取得的少而孤立的结论既不完善也不相
互关联，这些可怜的残余算得了什么。”当然，1927年时，直觉主义者在按他们的标准
重构经典数学方面，还没有取得太大的进展，但来自他们的哲学对手的挑衅激怒了他们
。从那时起，越来越多的直觉主义者着手重建基础的工作。不幸的是，与逻辑学派一样
，他们在什么是可接受的基础这一问题上也产生了分歧。有的认为应剔除所有广义集合
论公理化的观点，他们限定自己只使用可以被有效定义或构造的概念。有的则是构造主
义者，他们并不那么极端，他们不但不怀疑经典逻辑，而且还利用它所有的观点。有的
则承认一个数学客体的类，并以此坚持构造过程。这样一来，就有许多人承认至少有一
个实数类（不能扩展到整个实数连续统）；而另一些人则只接受整数，他们只愿意考虑
诸如那些可计算的其他数和函数的概念，而那些被认为是可计算的东西也不尽相同。因
此，一个数如果可被某些由可接受的数构成的集合越来越精确地逼近，就好像一个一般
无理数能被一个有限小数越来越精确地逼近，那么它就是可计算的。
不幸的是，构造性的定义绝不能说是清晰明确的。我们来考虑下述关于数N的定义：
假设p=3，则N=1-0.001或0.999。设p=2，则N=1.01。现在我们把p定义成π的十进制展开
式中出现序列123456789后的第一位。若不存在这样的p，我们定义N为1；若存在这样的p
并且为一偶数，则N=1.000……直到第p个位置，N的小数部分在这一位上是1。若p为奇数
，则N=0.999……直到第p位。然而我们并不知道这样定义的p是否存在。若不存在，则N=
1，若存在，但并不在π的十进制展开式的头一千位内，则我们不能写出N的值。然而N是
被定义了的，甚至定义到了任意精度位上，N还是构造性定义的吗？
当然，使用了选择公理或连续统假设的存在性证明不是构造性的，因此不仅对直觉主义
者，甚至对许多非直觉主义的数学家来说都是不可接受的。
虽然在构造主义者之间存在着分歧，但还是可以说，他们重建了经典数学中的很大一部
分。有些重建的理论所肯定的东西不如在经典理论中的多，对于这个问题，直觉主义者
的回答是：尽管经典分析是有用的，但它的数学真理性却比较少。总之，他们的进展受
到了很大的限制，而且，将他们的工作扩展到先前已接受的数学中去的前景并不美妙。
由于进展缓慢，甚至连布尔巴基学派的数学家（关于他们，我们将在后文中讲述）也在1
960年说：“毫无疑问，直觉学派注定将会只作为一个历史奇观而被缅怀。”对直觉主义
的批评可以引用诗人S.霍芬森的一段诗：
一点一点的，我们从事实中
抽去谬误，也抽去信念，
仅靠残留的真实的幻影，
我们忍饥挨饿，勉强为生。
然而，对直觉主义者来说，如果建立一个合理的基础必须牺牲经典数学的一部分，甚至
是牺牲康托尔的超限数“天堂”的话，这个代价也还是不算太高的。
尽管直觉主义的反对者对直觉主义这种数学哲学的驳斥过于傲慢和武断，但对许多持有
同情心的人们的批评则必须严肃对待。有这样一种批评指出，直觉主义者努力重建的，
与其原则相一致的理论并不能由人类的直觉提出，也很难用人类的直觉来保证。这些理
论已被数学家所用过的所有方法、所有类型的推理、猜想、从特殊情况中所得到的归纳
，以及那些来源不明的瞬间灵感所得出。因此，在实践中，像所有的数学家一样，直觉
主义者实际上依赖的是常规的建立方法，甚至是古典逻辑，尽管直觉主义者寻求的是一
种与他们自己的原则相一致的重建理论的证据。直觉主义者也许会这样回答：尽管须要
用到一些发现的常规方法，它们的结论还是肯定能被人类的直觉所接受的。然而，在不
否定直觉主义中其他思想的重要性的情况下，事实仍然是：许多连直觉主义者都接受的
理论对直觉来说也是如此的微妙和不可思议，很难相信人的头脑能直接认识到它们的真
实性。
创造的常规方式和数学的理想化、抽象化的常规方式是基本的，这一论断由F.克莱因和
帕斯更推进了一步。直觉能发现一种连续却无处可导的函数或一条填满正方形的曲线（
皮亚诺曲线）吗？这种创造，即使可由直觉提出，也必须经过理想化和抽象化的提炼。
克莱因说简单幼稚的直觉是不准确的，而经过提炼后的直觉却又根本不是真正的直觉，
它来自于建立在公理基础上的逻辑发展。我们将最终依赖于从公理出发的逻辑推理。对
此，布劳维说，一个公理系统必须用解释或模型的方式来证明相容性（见第八章），而
这种解释或模型本身也必须是相容的。他尖锐地问道，我们总能找到这样的解释，而且
不依赖于直觉基础而接受其相容性吗？
魏尔也对传统的创造方式和证明更为有力这一断言提出了挑战。在他的《思维与自然》
（1934年）中，他说：“那种指望着揭示一个比展现在直觉面前的自然更为深入的自然
的想法是个不太可能实现的梦想。”
一些直觉主义者的对手们也赞同数学是一种人类的创造。但他们认为对错是客观决定的
，而直觉主义者依靠的却是难免出错的人类头脑的自明。在希尔伯特和伯奈斯(Paul
Bernays)关于数学基础问题的著作第一版的论述中，我们看到了直觉主义哲学致命的弱
点。如果正确性意味着人类头脑的自明，那么我们可能依赖什么样的概念和推理呢？而
对所有人类都具有客观有效性的真理又在哪里呢？
另一个对直觉主义的批评指出直觉主义与数学在自然中的应用无关。直觉主义没有把数
学和感知联系起来。布劳维承认直觉主义没有实用价值，实际上，布劳维否定人类对自
然的支配。不管批评是什么，魏尔在1951年说，“我想每个人都必须接受布劳维的批评
，他所想要坚持的是这样一个信念：数学命题陈述的是纯粹的真理，基于显明的真理。
”
直觉主义学说引起了一个相关的问题。正如我们所知，他们坚持认为正确的，可接受的
思想能被并且已被人类的头脑所领悟。这些思想并非起源于语言形式，实际上，语言只
是传输这种思想的一种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是思想是否能脱离
语言而独立存在。一方面，存在着这样一种观点，可用圣约翰在《福音》中所说：“打
世界创立之初，就存在着语言。”尽管圣约翰并没有什么数学头脑，但他的论述却与希
腊哲学观和一些现代心理学家的观点不谋而合；另一方面，见克莱则坚决认为语言是思
想的累赘。
欧拉在给普鲁士王国腓特烈一世的侄女安霍-德骚(Anhalt-Dessau)公主的信中（发表于1
768—1772年间），讨论了这个问题：
无论一个人运用抽象的能力有多么强，同时还在头脑中融入了一般的思想，但如果没有
书面的或口头的语言作为帮助，他就不可能取得重大的进展。这两种方式都包含了大量
的词汇，它们只是与我们思想相对应的一些特定的符号。它们的含义是由习俗或由群居
在一起的人们的默认所决定的。
从这里可以看出，对人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知。
一个孤立的人没有它也可以过得很自在，但我们只要稍加思考就足以明白：人类确实需
要语言。这是与其他人沟通的需要，同时也是培养、磨炼他们自己的思想的需要。
阿达马在《数学领域中的创造心理》（1945年）中考查了这样一个问题：数学家们是如
何思考的。他发现在创造过程中，所有的数学家实际上都避免使用准确的语言，他们用
的是含糊的、可见或可触摸到的印象。爱因斯坦在一封信中（后被载入阿达马的书中）
描述了这种思维模式：
写下来的词句或说出来的语言在我的思维机制里不起任何作用。……那些似乎可用来作
为思维元素的心理实体，是一些能够“随意地”使之再现并且结合起来的符号和多少有
点清晰的印象。……对我来说，上述那些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。只有
在第二阶段，才有必要费神地去寻求惯用的词或其他记号。……
当然，形象化在创造行为中起了主要作用，将欧几里得平面划分为两部分的无限长直线
就来自于形象。这样，问题就可以归纳为，大脑对一个事实（不管是怎样得到的）的把
握是否已达到如此确定的程度（就如同直觉主义者所主张的那样），以致于使用准确语
言和逻辑证明来表达变得不是那么重要了呢？
作为一种能促进与形式逻辑主义者交流的友好表示，海丁(Arend Heyding)这位继布劳维
后的直觉主义的主要倡导者，在1930年发表的一篇论文中，提出了直觉主义命题逻辑的
形式法则。其中只包括了经典形式逻辑的一部分。例如，海丁允许p为真的命题蕴涵着p
为假为假的命题。但是如果p为假为假，却不能导出p为真，因为关于p的断言是不可构造
的。排中律——p或非p必为真——这里没有用到。但是如果命题p蕴涵着命题q，那么q的
否命题则蕴涵着p为假。直觉主义者并不认为这种形式化是基本的，它只是对思想的不完
全表达。此外，形式化并非海丁一家所独有，直觉主义者在可接受的逻辑原则问题上各
有分歧。
尽管直觉主义者对数学添加了很多限制，尽管还存在着来自直觉主义哲学其他部分的批
评，但直觉主义却带来了有益的影响。它首次严肃讨论了有关选择公理的问题并将其放
到了显著的地位上。数学中的存在性意味着什么？它对于解释魏尔的理论，对于知道那
个具有特殊性质却无法认识或计算的数的存在有什么好处吗？那种对排中律没有限制地
、天真地扩展无疑需要重新考虑。直觉主义者最有价值的贡献也许就是他们在计算数或
函数问题上所坚持的主张，即在论证这些数及函数的存在时，仅证明不存在将会导致矛
盾。要详细了解这些数就好像要与朋友住在一起而不是仅仅知道有个朋友住在这个世界
的某个地方。
逻辑主义者与直觉主义者的对抗只是在围绕着建立数学的适当基础的纷争中的首次交锋
。其他的竞争者也加入了这场纷争，我们暂且拭目以待。
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① 一种逻辑错误。把未经证明的判断作为证明论题的依据。——译注
① 从我们这里的目的出发，定理这个词的专用意义毋须深究。这里只是用来给出特定的
例子。——原注
② 彭加勒是个例外。他认为形式主义者（见第十一章）可以接受不导致悖论的概念。—
—原注
标 题: 数学：确定性的丧失(11)
发信站: 北大未名站 (2002年10月23日22:38:34 星期三), 转信
第十章 逻辑主义与直觉主义
逻辑学派的理论并非不毛之地，它生长着矛盾。
——彭加勒
集合论中悖论的发现，以及意识到其他经典数学中也可能存在悖论，使数学家们开始认
真对待相容性问题了。由于选择公理的任意使用，就提出了这样一个问题，即数学中的
存在意味着什么，而且这一问题备受瞩目。真正的无限集是不是一个合理的概念？在重
构数学基础和开创新的数学分支时，越来越多地使用无穷集合将这个古老的争议重新提
到人们面前，而19世纪后期的公理化运动并没有涉及这个问题。
然而，并不是这些问题和前一章中所述问题，使得数学家们重新对正确的数学基础这一
问题做全面的考虑，这些问题使原来已经冒了烟的观点分歧，变成了白热化的争议。一
些新的带根本性的数学方法，早在1900年之前就被提出来，并在一定程度上给予了仔细
的探讨，但它们并未受到人们的注意，大多数数学家没有认真地对待它们。本世纪最初
的十年中，数学巨人之间为关于数学基础的新数学方法而爆发了一场战争，他们分裂为
两个对立的阵营，并向对方宣战。
逻辑派是这些派别中的一个，其论点简言之，就是所有的数学都可由逻辑推导出来。在2
0世纪初，几乎所有的数学家都认为逻辑法则是一个真理体系。因此，逻辑学家们断言，
数学也一定是一个真理体系，而且由于真理是相容的，因而他们说，数学也一定是相容
的。
像所有的创新一样，这一论点在得到明确的形式和广泛的注意之前，许多人对它做出了
贡献。数学可由逻辑推出这一观点，可以上溯到莱布尼茨。莱布尼茨区分了理性真理（
或必然真理）和事实真理（或称偶然真理）（见第八章），莱布尼茨在写给朋友科斯特
的一封信中解释了这一区别。一个真理是必然的，若它的否定蕴涵着矛盾；如果一个真
理不是必然的，就称它是偶然的。上帝是存在的，所有的直角都相等，这些都是必然真
理。而我本人是存在的，自然界中存在着某种物体，它有一个恰为90°的角，这些则是
偶然真理，它们可能正确，也可能不正确。因为整个宇宙都可能是另一种结构，而上帝
从无数的可能结构中选出了他认为最为合适的。数学真理是必然真理，所以它们一定是
可由逻辑推出的，而逻辑的规则也是必然真理，而且在任何可能的世界体系中都是正确
的。
莱布尼茨没有将由逻辑推出数学这一工作继续下去，在差不多200年的时间里，其他持有
相同见解的人也没有做这件事，例如，戴德金直截了当地肯定，数不是由时间和空间的
感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数，我们才有时间和空间的精
确概念。他开始发展这一论点，但也没有继续下去。
最后，受戴德金的影响，弗雷格发展了逻辑派的理论，他对数理逻辑的发展做出了很大
贡献。弗雷格相信，数学和法则是解析的，它们是蕴含在逻辑原理中的。而逻辑原理是
先验真理，数学定理及其证明说明了什么是蕴含，并不是数学全部都能用于现实世界，
但它当然是包含了理性真理的。弗雷格在《概念演算》（1879年）中，在明确表述的公
理之上构筑了逻辑学。此后在他的《算术基础》（1884年）和两卷著作《算术的基本法
则》（1893年，1903年）中继续从逻辑前提出发，推导算术的概念和数的定义及规律。
从数的规律出发，就有可能推出代数，分析甚至几何，因为解析几何是从代数形式来表
述几何的概念和性质。不幸的是，弗雷格的符号体系对数学家们来说太复杂、太生疏了
，因此他的工作，在当时并没有什么影响。有一个具有讽刺意味的故事。1902年正当《
算术的基本法则》第二卷要付印的时候，他接到罗素的一封信，罗素说他的工作涉及了
“所有集合的集合”这一概念，但这是会导出矛盾的。弗雷格于是在第二卷的结尾写道
：“一个科学家再不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成的时候，它的基础垮掉
了。当这部著作只等付印的时候，罗素先生的一封信，就使我陷入这种境地。”在他写
这部著作的时候，弗雷格并不知道悖论已经被提出来了。
罗素独立地构想出了同样的计划，在他进一步发展它的时候，他发现了弗雷格的工作。
罗素在他的自传（1951年）中说，他也受到皮亚诺的影响，后者是他1900年在第二届国
际数学家大会时遇到的：
这次大会是我的精神生活的一个转折点，因为在那里我遇见了皮亚诺。在此之前，我已
听说过他的名字，也知道他的一些工作。我突然明白了，他的符号提供了我多年来一直
试图寻找的分析的工具，而且，从他那里我获得了一直以来想要从事的工作的一种新的
有效的技术。
在《数学原理》（第一版，1903年）中，他进一步写道：“所有的数学都是符号逻辑这
一事实是我们这个时代最伟大的发现之一……”
在本世纪之初，罗素和弗雷格一样，相信如果数学的基本定理能由逻辑推出，则由于逻
辑一定是个真理体系，那么这些定理也是真理，相容性的问题也将得到解决。在《我的
哲学发展》（1959年）中，罗素说，他试图得到“一种完美的数学，它是无可质疑的”
。
罗素当然知道皮亚诺从有关整数的公理推出了实数，也知道希尔伯特为整个实数系统给
出了一个公理集。然而在《数学哲学导言》（1919年）中，他提到了有点类似于戴德金
的一种策略：“我们所需要的这种假设方法有很多优点；正如窃取总是比诚实劳作来得
快一样。”罗素真正关心的是十或十五条关于数的公理的假设并不能保证这些公理的相
容性与真实性。正如他所说的，这一假设毫无必要地增加了未来之旅的难度。而在本世
纪初，罗素还确信逻辑原理是真理因而是相容的，怀特海（Whitehead）则在1907年提醒
道：“不可能有关于逻辑前提本身的相容性的形式的证明。”
在许多年里，罗素一直相信，逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且
仅为精神所感知的。这种知识是客观的，永恒的，这一立场在他1912年的著作《哲学的
问题》中给予了明确的阐述。
在真理问题上，罗素的意图是要走得比弗雷格更远。年轻时他相信数学揭示了现实世界
的真理，然而，在欧氏几何和非欧几何（它们都与现实世界相吻合（见第四章）却彼此
不相容）中，他却不能肯定，哪一个是真的。在《关于几何基础的随笔》（1898年）中
，他确实找到了一些他认为是客观真理的数学法则，例如物理空间一定是齐次的，即在
任何地方都具有相同性质。然而，一定存在一个客观的真实世界，我们能够得到关于它
的正确知识，对比之下，空间的三维性则只是一个经验事实。因此罗素试图寻找具有客
观真实性的数学规律，而这些规律应是可由逻辑公理推出来的。
在1903年的《原理》中罗素强调了关于数学的客观真理性的立场，他说：“一切关于实
际存在的命题，例如，我们生活其中的空间，都来自于实验或经验科学，而不是数学。
当它们属于应用数学时，它们是通过纯数学的一个命题中的一个或多个变量赋以常数值
而得到的……。”甚至在这一版中，他仍然相信一些基本的客观真理存在于由逻辑推出
的数学中。对于怀疑论者没有绝对真理的观点，罗素回击道，“数学对于这样的怀疑主
义，将永远责难它们，因为真理的殿堂巍然耸立，不会因为任何怀疑的讥讽而有所减损
”。
罗素在他的《原理》中概要说明的思想在怀特海和罗素的详尽著作《数学原理》（共3卷
，第一版1910～1913年）中得到了发展，由于这部著作是逻辑派立场的权威性论述，我
们的说明将以此为本。
这个学派从逻辑本身的展开出发，谨慎地提出一些逻辑的公理，由此推出定理，它们可
以用于以后的推理。和任何公理化理论一样（见第十二章），这个展开是从一些不定义
的概念开始的，这些不定义的概念中有：基本命题的概念，肯定基本命题的真，一个命
题的否定，二个命题的析取，以及命题函数的概念。
罗素和怀特海解释了这些概念，虽然正如他们指出的，这种解释并不是逻辑展开的一部
分，他们所谓的命题和命题函数实际上是皮尔斯已介绍过的。例如：“约翰是人”是一
个命题，而x是人，则是一个命题函数。一个命题的否定是指：“这个命题成立不是真的
”。因此，如果用p表示“约翰是人”这个命题，那么p的否定（记作～p）是指“约翰是
人不真”或“约翰不是人”。两个命题p与q的合取记作p·q，是指p与q都必须为真；两
个命题p与q的析取记作p∨q，是指p或q为真。这是“或”的意思，正如“男人或女人都
可申请”中说的，即男人可以申请，女人可以申请，或者两者都可申请。“那个人是男
人或女人”这句话中，“或”具有更一般的意义，即非此即彼，不能两全。在数学中按
第一个意思来用“或”这个词，虽然有时只有第二种意思是可能的。例如：三角形是等
腰的或四边形是平行四边形”说的是第一个意思。我们也说一个数必为正的或负的，而
关于正数和负数的一些事实说明二者不能都是真的。因此在《原理》中，肯定p或q就是
指p并且q都是真的，或者p不真而q真，或p真而q不真。
在命题之间最重要的一种关系是蕴涵，即一个命题的真强制着另一个命题的真。在《数
学原理》中，定义了蕴涵，记为é，它与弗雷格的实质蕴涵（见第八章）意义相同，即p
éq就是若p为真，则q必真；而若p为假，则不论q为真或假都有péq，即一个假命题蕴涵
任意命题，蕴涵的这一定义至少与可能发生的事是相容的。因此，若a是偶数为真，则2a
必为偶数，而若a是偶数为假，则2a可能为偶数或者（当a是分数时）2a可能不是偶数，
由假命题，a为偶数两个结论都可得到。
当然，必须要有逻辑公理才能推导定理，其中的一些是：
A．一个真的基本命题所蕴涵的命题是真的。
B．(p∨p)ép．
C．qé(p∨q)
D．(p∨q)é(q∨p)
E．p∨(q∨r)éq∨(p∨r)
F．由p的肯定和péq的肯定可得q的肯定。作者们由这些公理出发推导出逻辑的定理。
为说明逻辑本身已形式化，并成为演绎的推理手段，我们来看一下数学《原理》开头的
几个定理。一个定理是，假设p蕴涵p不真，则p不真，这就是归谬原理。另一个定理是，
若q蕴涵r，那么就有若p蕴涵q，则p蕴涵r（这是亚里士多德三段论的一种形式）。一个
基本定理是排中律：对于任意命题p，p是真的或是假的。
在建立起命题逻辑之后，两位作者开始处理命题函数，它们实际上表示的是类或者集合
，因为命题函数用性质来描述集合，而不用把集合中的元素指点出来，例如，命题函数
，“x是红的”这个命题函数就表示所有红色的物体组成的集合。
罗素和怀特海当然希望能够避免由于定义一个包含自身在内作为一个元素的集合而引起
的错误。他们解决这个困难的办法是要求，“任何牵涉着一个集合的所有元素的东西，
都不能成为这个集合的元素”。为了在《数学原理》中实现这一制约，他们引入了层次
理论。
层次理论是复杂的，但其思想是简单的。个体（例如约翰或某一本书）是层次0。关于个
体的性质的断言，是层次1，关于个体性质的命题，则是层次2，每一个断言都比它所描
述的低层的事物层次为高。用集合的术语来说，层次理论说的是个体元素的层次为0；个
体的一个集合层次为1；许多个集合组成的一个集合层次为2；依此类推。这样如果说a属
于b，则b的层次一定比a高，同样，不能说一个集合属于它本身，当把层次理论回到命题
函数上时，情况变得略为复杂一些。命题函数不能由这个函数本身定义的东西作为变元
（变量的值），因此函数就比其变量的层次要高。基于这一理论，两位作者，讨论了当
时的悖论，并且说明层次理论避开了悖论。
层次理论可以避免矛盾的优点用一个非数学的例子可以更清楚地说明。我们来考虑“凡
是规则都有例外”这一叙述引起的矛盾（见第九章），这一叙述是关于“任何书都有印
刷错误”这样的特定的规则的，而关于所有规则的陈述，通常被解释为若用于它本身则
导出了矛盾，即存在没有例外的规则。在层次理论中，一般规则具有更高的层次，因此
，它关于特定的规则的陈述不能用于自己，从而一般规则不一定有例外。
类似地，“它谓”悖论，将那些不能用于自身的词定义为它谓的——是所有它谓的词的
一个总的定义，因此，它比任何一个它谓的词层次都高。所以不能问一个它谓的词本身
是不是它谓的。但可以问一个特定的词，比如，短的是不是它谓的。
说谎者悖论也可以通过层次理论得到解决，正如罗素所指出的，陈述句“我正在说谎”
是指“我正在肯定一个命题，而它是假的”，或“我肯定一个命题p而p是假的”。若p是
第n层的，则关于p的断言，层次是高于n的，因此，若关于p的断言是真的，则p本身就是
假的；而若关于p的断言是假的，则p本身就是真的，但这里并不存在矛盾。用同样的方
法，还能解决理查德悖论。所有这些都涉及到一个关于低层断言的层次更高的断言。
很明显，层次理论需要对语句仔细地按层次加以区别。然而，要想按层次理论来建立数
学，开展起来将极为复杂。例如：在《原理》中，两个东西a和b相等，是指如果对b适用
或b成立的每一命题或命题函数，都对a成立，反之亦然。但是这许许多多的断言是不同
层次的，因而相等这一概念，就相当复杂。类似的，由于无理数是用有理数定义的，而
有理数是用正整数来定义的。无理数比有理数有更高的层次，它们都比整数的层次类型
高，因此，实数系由不同层次的成分构成，于是不能得出关于所有实数的定理，而必须
对每个层次的数分别陈述，因为适用于一个层次的定理，不能自动地适用于其他层次。
层次理论带来的另一复杂命题是关于有界实数集的最小上界的概念（见第九章）。最小
上界定义为所有上界中最小的，因此，最小上界是用实数的集合来定义的，于是它一定
比实数层次高，而它本身不是实数。
为了避免这种复杂性，罗素和怀特海巧妙地引进了约化公理。命题的约化公理认为任何
较高层次的一个命题与一个层次为0的命题等价，命题函数的约化公理认为任何一元或二
元命题函数与一个层次为1，具有相同数目的变元（变元可以是任何层次的）的命题函数
是共存的。这一公理也为支持《原理》中使用的数学归纳法所需要。
在叙述了命题函数之后，两位作者就讲到关系理论，关系是通过两个或多个变量的命题
函数来表示的，这样“x爱y”就表示了一种关系。由关系理论得出用命题函数定义的明
确的类或集的理论，在此基础之上作者们将要引入自然数（正整数）的概念。
自然数的定义当然是有点意思的，它依赖于先前引入的类之间的一一对应关系。如果两
个类是一一对应的，则称其为相似的。所有相似的类，具有一个共同性质：它们的元素
个数相同，而且相似的类可以有多个共同的性质。罗素和怀特海在这一点所做的，正如
弗雷格做过的，是把一个类的元素个数定义为所有与之相似的类所组成的类。这样，3这
个数目就是所有的三元素类所组成的类，而三元素的记号是｛x，y，z｝，其中x≠y≠z
。因为数目的定义事先假定了一一对应的概念，看起来这个定义似乎是循环的，但是，
作者指出，一个关系是一一的，如果当x和x′都对y′有这个关系时， x与x′必是恒同
的，而当x对y和y′都有这个关系时，y与y′必是恒同的。因此，一一对应的概念，并未
牵涉到数目1。
有了自然数以后，就能建立起实数系和复数系、函数以及全部分析。几何可以通过数用
坐标和曲线方程来引进，然而，为了实现他们的目标，罗素和怀特海又引入了两条公理
。为了定义自然数（以命题函数的形式）以及更为复杂的有理数，无理数及超限数，怀
特海和罗素引进了无穷类存在的公理（类已由逻辑术语适当地定义）和层次理论所需的
选择公理（见第九章）。
这就是逻辑派的宏大计划，他们在逻辑上的工作有很多可说的，我们在这里只是一带而
过。我们必须着重指出的是，他们在数学上的工作，就是要把数学奠定在逻辑的基础上
，不需要任何数学公理，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延展。
逻辑派的做法受到很多指责，约化公理激起了反对，因为它显得太任意了。尽管没有证
明说它是错的，可也缺乏证据说明它的正确性。它曾被说成是可喜的，意外的，而不是
逻辑必需的。拉姆赛尽管是支持逻辑派理论的，但他也用这样的话来指责其公理：“这
样的公理在数学中是没有位置的；任何不用它就不能证明的东西，根本就不能看成是得
到了证明”。另一些人说，这个公理是智力的廉价品。魏尔则明确宣布放弃这个公理。
有些评论称，这个公理重新引入了非断言定义。也许最重要的问题是它究竟是不是逻辑
的公理，以及由此提出的数学是建筑在逻辑基础之上这一论点是否确实可靠。
1909年彭加勒说：约化公理比数学归纳法更靠不住，更含糊不清，前者实际是用后者来
证明的，它是后者的另一种表现形式。但是数学归纳法是数学的一部分，是构筑数学大
厦必需的。因此，我们不能证明其相容性。
罗素和怀特海在《原理》第二卷第一版（1910年）中说明引入这一公理的理由是为了得
到某些特定结果。很明显地，他们为使用了这个公理而不安，这里是作者为它作的辩解
：
说到约化公理，既然它支持的推理和由它产生的结果，看起来都是合乎情理的，所以直
觉上它应该是正确的，然而尽管不大可能证明它是错误的，却也不大可能证明它是由一
些基本或更明显的公理推导出来的。
后来，罗素自己也很关心约化公理的使用，在他的《数学哲学导论》（1919年）中，罗
素说：
从严格的逻辑化来看，我找不出任何理由来相信约化公理是逻辑必然的，这就是说，它
在所有可能的世界中都是真的。因此，在逻辑体系中，承认这个公理是个缺憾，即使从
经验来看是真的。
在《原理》的第二卷第二版（1926年）中，罗素重新叙述了约化公理，但这产生了一些
新的困难。比如，不允许高阶无穷，省去了最小上界定理，并使得数学归纳法的使用更
为复杂。罗素再一次说明他希望能从更明显的公理中推导出约化公理，然而他又一次承
认其是逻辑的缺憾。罗素和怀特海在数学《原理》的第二版中一致认为，“这个公理有
着纯粹的实际的合理性，它导出想要的结果而不是其他。”他们也意识到它能导出正确
结论的事实并不是一个很有说服力的论据，因而做了各种尝试，把数学归结为不含约化
公理的逻辑。但他们并没有深入地探讨，而且有些作法被批评为引入了错误的证明。
对逻辑基础更多的批评，指向了无穷公理。批评的焦点在于，整个数学的结构根本上是
建立在这个公理的正确性之上，然而却没有丝毫理由来相信其真理性。更糟的是，根本
没有办法对其真理性做出判定。而且，它是不是个逻辑公理也还是个问题。
凭心而论，应该指出的是，罗素和怀特海对于将无穷公理作为逻辑公理也很踌躇，他们
被这个公理的内容具有“真实的外表”这一事实所困扰，困扰他们的不仅仅是它的逻辑
性，还有它的真实性。《数学原理》中术语“个体”的一种解释是构成宇宙的终极粒子
或元素，这样一来，尽管无穷公理是以逻辑术语表述的，它却似乎提出了这样一个问题
，即宇宙是否由有限个或无限个终极粒子构成的，这个问题或许物理学能够回答，但肯
定不是数学或逻辑学所能回答的。然而，如果引入无穷集，如果要证明用无穷公理推导
出来的数学定理是逻辑定理，似乎就必须将它作为一个逻辑公理来接受，简而言之，如
果将数学“归结”为逻辑，那么，逻辑似乎就一定要包含无穷公理。
罗素和怀特海，还使用了选择公理（见第九章），他们称之为乘法公理：给定一个不相
交类（互斥类）的类，且它们中没有空类，则存在一个类，恰由每个类中的一个元素组
成。我们知道，这个公理所引发的讨论和非议，比其他任何公理都多——除了欧几里得
的平行公理。罗素和怀特海为选择公理同样感到不安，他们不能说服自己把它和别的逻
辑公理同样地当作逻辑真理。然而，若将由这个公理推出的经典数学归结为逻辑，同样
也只有承认它是逻辑的一部分。
约化公理、无穷公理及选择公理的使用，对整个逻辑的观点，即数学可以从逻辑推导出
来，提出了质疑：逻辑与数学的区别在哪儿呢？逻辑派观点的拥护者说，《数学原理》
中所用的逻辑是“纯逻辑”或“纯化了的逻辑”；另一些人则对于三个有争议的公理耿
耿于怀，对所用的逻辑的“纯粹性”提出疑问，因此他们否认数学甚至数学的任何一个
重要分支已被归结为逻辑。有些人则愿意将逻辑一词的意义加以推广，使它能包含这些
公理。
罗素是坚定的逻辑派观点的捍卫者。有一个时期他为他和怀特海在《原理》第二卷第一
版中所做的一切作辩解，在《数学哲学导论》（1919年）中他说：
（数学和逻辑的）同一性的证明，当然是细节问题。从逻辑和数学共同接受的前提出发
，用演绎的方法得到显然是数学的结果，我们就会看出，不可能画出一条清晰的分界线
，其左边是逻辑，右边是数学。如果还有些人不肯承认数学和逻辑的同一性，我将提请
他指出，在《数学原理》的一系列定义和推导中，他们认为在哪儿是逻辑的结束，哪儿
是数学的开始。显然，任何答案都不可能是准确的。
考虑到20世纪初时关于康托尔的工作和选择公理以及有关无穷公理的非常尖锐的争论，
罗素和怀特海没有限定把这两个公理作为他们的整个系统的公理，而只是在特定定理中
用到了这两个公理（《数学哲学导论》1926年，第二版）。然而，有很大一部分经典数
学的推导必须用到它们，在《原理》第一卷的第二版（1937年）中，罗素已放弃了最早
的观点。他说：“什么是逻辑的原理，已经变得相当任意了”。无穷公理和选择公理“
只能通过经验来证实或否证”。不过，他仍然坚持逻辑和数学是统一体。
然而，批评并未就此中止，魏尔在《数学和自然科学的哲学》（1949年）中说，《原理
》中数学的基础
不仅仅是逻辑，还有一种逻辑学家的天堂，一个具有某种结构极为复杂的，“终极内涵
”的宇宙。……有哪个头脑现实的人会敢说他相信这个超自然的世界呢？……这个复杂
的结构对我们信仰力量的压制，并不亚于早期教会神父或中世纪经院哲学的教条。
还有一个关于逻辑主义的批评，尽管在《原理》的三卷中都没有发展几何学，但很清楚
，正如我们前面提到的，使用解析几何就可以做到这一点。不过，也有人指出说，《原
理》通过归约为自然数的公理集，就把算术、代数和分析归约为逻辑，但是数学的“非
算术”部分，例如几何、拓扑学和抽象代数，并没有归约为逻辑。这一观点被逻辑学家
卡尔·汉普尔(Carl Hempel)接受，他说：尽管在算术中可能“以纯逻辑概念的术语”给
未定义概念或原始概念赋以习惯的意义，“类似的过程却不能用于非算术派生的那些规
则中”。另一方面，逻辑学家奎因(Willard Van OrmanQuine)则认为“数学可以归约为
逻辑”。因为对几何来说，“一种约化为逻辑的方法唾手可得”，而且拓扑学和抽象代
数“符合逻辑的一般结构”。罗素本人则怀疑是否能单从逻辑推出所有的几何。
对于整个逻辑派的观点，还有一种严厉的批评。即：假如逻辑派的看法是正确的，那么
，全部数学就是一种纯形式的，逻辑演绎的科学。它的定理遵循思维的规律，而思维规
律所做的精巧的演绎，是如何表示广泛的自然现象，数的运用、空间几何、声学、电磁
学以及力学的，则似乎无法解释。魏尔就此讥讽逻辑派是从无到无。
彭加勒也同样对其认为是无意义的逻辑符号操作持批评态度。关于他的观点，我们在后
文中将给予更多的描述。在1906年的一篇随笔中（这时罗素和希尔伯特已经对他们的方
案给出了充分的描述），他说：
这门科学（数学）不必单只为了自己的缘故而永久地注视着自己的肚脐；它与自然相联
，而且必然会有回归自然的一天。那时必然要将这些纯语言的定义抛弃，而且不会再为
这些空洞的词语所蒙蔽。
在同一篇随笔中，彭加勒还说：
逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，
这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己
的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜
利，这是一定的，并且永远不会停止。
另一种对逻辑派的严肃批评断言，在数学的创造中，感性的或想象的直觉必须提供新的
概念，而不管它是否来自于经验。否则的话，新的知识从哪里产生呢？但是在《原理》
中，所有的概念都归约为逻辑概念。形式化显然在任何实际意义下，都不能表示数学，
它只有外壳，没有内涵。罗素本人在另一场合曾说：数学是这样一门学科，在其中我们
永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。这就可以用来反驳
逻辑主义。
新的思想如何被引入数学？如果数学的内容可以全部由逻辑推出，那它怎么能用于现实
世界？对此并不容易回答，罗素和怀特海也没有给出回答。逻辑主义不能解释为什么数
学适用于物理世界这一论点被数学适用于基本物理原理这一事实反驳了。而这一点，只
要涉及到实在，就成了前提。数学技术勾画出物理原理的含义，譬如说PV=常数，F=ma。
这结论仍然适用于物理世界，这就产生了疑问：为什么世界符合数学推理呢？我们后面
将要回到这个问题上来（见第十五章）。
在《数学原理》第二版出版后的几年中，罗素继续考虑逻辑派的方案，在1959年的《我
的哲学发展》中他承认他的哲学发展，就是由逐步放弃“欧几里得主义”到尽可能地拯
救其确实性构成。毫无疑问，对逻辑主义的批评，影响了罗素后来的思想。本世纪初罗
素刚开始他的工作时，他认为所有的逻辑公理都是真理。在《数学原理》 1937年的版本
中，他放弃了这个观点，他不再相信逻辑的原理是先验真理，而数学是从逻辑推导出来
的，所以它也不是先验真理。
如果逻辑的公理不是真理，那么逻辑主义就没有回答数学的相容性这一最为重要的问题
。含义模糊的约化公理使相容性陷入了更大的窘境。在《数学原理》的第一、二版中，
罗素对于接受约化公理的原因是：“由它可以推出许多毋庸置疑的命题，如果约化公理
是错的，那就没有同样可信的方法可以保证这些命题的正确性了，并且从它也推不出什
么可能错误的命题”。罗素解释的这番原因，实际上并没有什么意义。《数学原理》中
接受的（在许多逻辑系统中也接受的）实质蕴涵，甚至当其原命题不成立时，也允许蕴
涵成立。因此如果一个假命题P被作为公理引入，则p隐含g可以在此体系中成立而且g仍
然可能真。既然在《数学原理》的逻辑中，一个“不容置疑”的命题，可以从一个错误
的公理中推出来，因此，这样一个论点是毫无意义的。
《原理》受到许多方面的批评，我们在上面并没有给予明确的考虑。型的分层证明是有
效的和有用的，但它是否完全达到了它的目的，我们并不确定。型的方法的引入是为了
防止产生悖论，而且它确实有效地阻止了集合论和逻辑中已知悖论的产生，但这并不能
保证不会出现新的悖论，届时型的分层恐怕也于事无补。
然而，有些卓越的逻辑学家和数学家，例如奎恩和丘奇(Alon-zo Church)尽管对逻辑主
义的现状有所指责，却仍大力倡导它。许多人从事着消除其缺陷的工作。一些并不全然
赞同逻辑主义观点的人说，逻辑，继而数学，是分析的，也就是说，它仅仅是对公理所
陈述的扩充。这样，一些逻辑派方案的热心支持者，转而去寻找消除它引起反对的原因
和它发展中的一些冗赘之处，这被一些人视之为遥不可及的理想。还有一些人，攻击它
是完全错误的数学概念。总而言之，就那些可疑的公理和冗长而复杂的发展来看，批评
者们有充分理由说逻辑主义是由不确定的假设来推出已知结论的。
另一方面，罗素和怀特海的工作确实做出了贡献。逻辑的数学化始于19世纪后期（见第
八章），罗素和怀特海进行了一次彻底的完全符号形式的逻辑公理化运动，从而大大推
动了数理逻辑这门科学。
对逻辑主义也许可以用罗素在《记忆之像》中的一段话作为最后的总结：
我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性，我想在数学中比在任何其他地方更能找到确定
性。但我发现，许多数学证明——我的老师希望我接受——却是错误百出。而且，假如
真的在数学中找到了确定性，那它一定是数学的一个新领域。它有比迄今为止认为是安
全的领域更加坚实的基础。但当工作进行时，我不断地想到大象和乌龟的寓言。把大象
置于整个数学的基础上之后，我发现大象摇摇欲坠，于是再造一个乌龟来防止大象倒下
，但这乌龟不比大象更安全。而在经过20年左右的艰苦工作后，我得出的结论是，在对
于使数学更确信无疑这一工作上，我已无能为力。
在《我的哲学发展》（1959年）一书中，罗素承认“一直以来，我希望在数学中找到的
绝对的确定性消失在一个令人迷惑的迷宫中了。……它确是一个复杂的概念的迷宫。”
而这也不是罗素一人的不幸。
正当逻辑主义形成之时，一群称为直觉主义者的数学家们使用了截然不同、全然相反的
方法来证明数学的确定性。逻辑主义者越来越依赖于精巧的逻辑来加固数学的基础。而
另一些人却在偏离甚至放弃逻辑，这真是数学史上最富矛盾的一件趣事。从某一方面来
说，二者追求的是同一目标。19世纪后半期的数学从阐述现实世界设计的固有法则这一
意义上来说，已经放弃了对真理的追求。早期的逻辑主义者，特别是弗雷格和罗素，相
信逻辑是一个真理体系。因此，如果数学确实是建立于逻辑之上，则它也是真理体系，
尽管他们最后从这一立场退到了只要实用认可的逻辑原理上。直觉主义者则通过唤醒人
们内心所确认的约束意识来寻求数学真理。从逻辑原理所推导出来的东西，不比直接感
悟的更可信，悖论的发现，不仅肯定了逻辑主义不可信，也促进了明确的直觉主义观念
的形成。
从广义的角度来讲，直觉主义可以追溯到笛卡尔和帕斯卡。在《思维的指导法则》一书
中，笛卡尔说：
我们不惮错漏地在此公布知性上升为知识的途径，这样的途径有两种：直觉和演绎。我
所说的直觉并非各种感觉的验证，也不是被自然而然夸大的想像的错误判断，它是来自
于缜密的头脑中的概念。它是如此清晰和明白，对于它所理解的东西，根本不含任何可
疑之处，或者说——两种说法其实是一样的——审慎而缜密的头脑中自明的概念，是仅
由理性获得的概念，并且因为更简单而比演绎本身更确定。尽管我们在前文中所说，在
演绎过程中，人的头脑也不会出错。因而，我们每个人都可凭直觉知道：我们存在、我
们思考、三角形仅由三边围成、球面由单面所围成、以及如此种种。
……
也许有人要问，为什么要在直觉中加入这种由演绎得来的其他类型的知识，也就是说，
加入了从我们对其有确定知识的事物中得到其必然结果的过程。我们不得不采用这第二
步，因为对于许多并不是自明的事物，只要它们是从真理和无可争辩的原理中而来，并
经过连续不可分的思维活动（对每一件事都有清楚的直觉）得到，那么它们就会打上确
定性的烙印。正如这样一种情况：尽管我们不能在一瞥之间就把一条长链中的所有中间
环结尽收眼底，但如果在依次看过以后，我们能回想起它们从头到尾都是一环扣着一环
的，那么，我们就可以知道最后一环和第一环是连在一起的。这样，我们将直觉和演绎
区分开来，因为在后一种情况中我们构想了某种步骤或顺序，并且与前一种情况中的不
同。……由此，我们便通过直觉或演绎（这要取决于我们如何看待它们）得到直接出自
于原理的命题。尽管这些原理本身只能由直觉知晓，而稍远的结果则只能依靠演绎得到
。
帕斯卡也十分相信直觉，在数学研究中，他表现出了极强的直觉力，他预见到了重大的
结果，作出了超人的猜测，并找到了捷径。后来他视直觉为一切真理的源泉，在这方面
他的一些话久已闻名于世。“心有其理，非理之所能知。”“推理是那些不明真理的人
用以发现真理的迟钝、愚笨的方法。”“孱弱无能的理智啊，你该有自知之明”。
从很大程度上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。尽管他主要是个哲学家，但康德
于1755年1770年间却在哥尼斯堡大学教授数学和物理，他认为我们的所有感觉都来自于
一个预先假定的外部世界。然而，这些感觉或感性知识并不能提供多少知识，所有感性
知识都包含了感知者和被感知物体间的相互作用。心智将这些感性知识梳理清楚，得到
对空间和时间的直觉。空间和时间并不是客观存在的，而是心智的创作。心智，为经验
提供了对空间和时间的理解，而经验只是唤醒心智。知识可能是从经验开始的，但并不
真正来源于经验，而是来源于心智。独立于经验，我们可以在先验的或真正的知识中前
进多远，数学是其光辉的例证。康德称这样一种方法为综合方法。即它能够提供新的知
识，而分析的命题，例如“所有物体都是可延展的”，并不能提供新的知识，因为延展
性是物体固有的属性。相反，直线是两点间的最短距离，这一命题是综合的。
尽管康德在肯定欧氏几何是先验综合真理这一点上是错误的，这却是他那个时代中哲学
家和数学家普遍信奉的观点。由于这一错误，后起的哲学家和数学家便对他的哲学体系
抱怀疑的态度。然而，康德关于时间是直觉的一种形式的分析，以及心智提供基本真理
的普遍观点却具有经久不衰的影响力。
如果数学家们对笛卡尔、帕斯卡、康德这些人的观点了解得更多一些，他们就不至于被
直觉派的思想所震慑，至少在刚开始的时候，这种思想被认为是过于偏激了。不过，笛
卡尔、帕斯卡或康德都没有提供一种对全部数学的直觉方法，就数学基础的方法而言，
直觉主义确实是现代的。
现代直觉主义最近的先驱是克罗内克，他的警句（在一次餐后演说中所说）“上帝创造
了整数，其他的都是人的工作”广为人知。在他看来，像康托尔和戴德金通过一个一般
集合论得出的普通整数的复杂的逻辑推导，比直接接受整数还不可靠。因为在直观上这
是清楚的，而且无需更可靠的基础。除整数外，所有的数学结构必须建于具有清楚意义
的术语的基础之上。克罗内克建议把实数系统的结构建立在整数和可以计算实数的方法
基础之上，而不是仅仅给出一个一般的存在定理，因此，他接受了无理数，因为它们是
多项式方程的根，且是可以计算的。
康托尔证明了存在超越无理数，即不是代数方程的根的无理数。 1882年，林德曼(Ferdi
nand Lindermann)，证明了π是一个超越无理数，就此，克罗内克对林德曼说“你那关
于π的美妙的探讨有何用处呢？既然根本不存在这样的无理数，为什么要研究这样的问
题呢？”克罗内克并不是否认所有的无理数，而仅仅是针对那些不能提供怎样计算的证
明的。林德曼的证明不是构造性的，事实上，借助于π的一个无穷级数表示式，π可计
算到小数点后的任意位，但克罗内克并不接受这个级数的导数。
克罗内克只承认“潜无限”，因此，他拒绝接受无穷集和超限数。他认为：康托尔在这
一领域的工作不是数学，而是玄学，经典分析只是文字游戏而已。他应该加上这么一句
：如果上帝还有另一种数学，他应为他自己而创建。克罗内克陈述了自己的观点，但并
未继续发展下去，也许，他对自己偏激的观点并不是太认真。鲍莱尔、贝尔、勒贝格可
称为半直觉主义者，他们对选择公理的反对我们已有论述。他们把实数系作为基础，他
们的详细观点颇具历史意义。因为，尽管他们关于具体的事物有着自己的看法，但他们
都没有能深化一门系统的哲学。彭加勒与克罗内克一样，认为不必定义整数，或在公理
基础上构造它们的性质。因为我们的直觉先于这一结构而存在。彭加勒还认为，数学归
纳法并不真正保证结论的普遍性和新结果的产生，它听起来是直觉的，但却不能把这一
方法归结为逻辑。
彭加勒认为，数学归纳法的本质还需要检验，因为它至今仍是争论的一个核心。用这种
方法，例如，要证明对所有的正整数π有
需要证明n=1时结论为真，然后证明若对于正整数k结论成立，则对于k+1也成立。因此，
彭加勒提出，这种方法引入了无限多个变量。这种方法肯定，由于(1)在n=1时为真，故n
=2时为真。由于n=2为真，则n=3时为真；如此类推，对所有的正整数都为真。由于没有
容括无限个变元的逻辑原理，因而归纳法并不能从这样的原理推出。因此，彭加勒认为
相容性并不能由所谓的数学到逻辑的归约得到证明。
至于说到无穷集，彭加勒认为“真正的无限并不存在，我们所说的无限，只是无论已有
多少物体存在，但创建新的物体的无穷的可能性仍存在。”
彭加勒全然反对繁杂的符号逻辑方法，在他的《科学与方法》中，他甚至讥讽它。他说
到了布拉利-福蒂在1897年的一篇文章中对整数的定义简直是个符号的迷宫。彭加勒说，
这对于从未听说过数1的人来说，是个绝好的定义。他又进一步地说：“我很担心，这个
定义包含了一个预期理由①，因为我注意到了其前半部分的数1和后半部分的字非。”
彭加勒接着便援引了库蒂拉这位早期的逻辑主义支持者关于零的定义，零是“空类的元
素个数。那么什么是空类呢？空类是不含元素的类。”库蒂拉接着又给出了符号化的定
义。彭加勒解释说：“零是满足一个永远不能满足的条件的物的数目。但是因为‘永远
不能’指的是‘在任何情况下都不’，我无法看出这里有任何大的进步。”
随后，彭加勒批评了库蒂拉关于数1的定义。库蒂拉说，1就是任何两个元素都相同的类
的个数。“但是，如果我们问库蒂拉，2是什么时，恐怕他又不得不使用1了”。
直觉主义的创始人，克罗内克、鲍莱尔、勒贝格、彭加勒和贝尔都是数学巨匠，他们对
标准数学证明和逻辑派的方法提出了大量的批评，他们提出了新的原理，但其成就却是
零星和不完整的。他们的观点由荷兰数学教授、也是直觉主义哲学的奠基人布劳维并入
了一个明确的阐述中。布劳维在他的博士论文《论数学的基础》（1907年）中提出直觉
主义哲学。从1918年开始他在许多杂志上阐述和发展了他的观点。
布劳维在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。数学是起源和产生于头脑的人类活动
，它并不存在于头脑之外，因此，它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直
觉，这些直觉不是感觉或经验上的，而是对某些数学概念直接的确定，其中包括整数。
基本的直觉是对一个时间序列中的不同事件的确认，“当时间进程所造成的贰性(twones
s)的本体，从所有的特殊事件中抽象出来时，就产生了数学。所有这些贰性的共同内容
所留下来的空洞形式就变成数学的原始直觉，并且由无限反复而产生了新的数学对象。
”布劳维认为无限反复意指自然数的连续序列的形成。康德、哈密尔顿（在他的《代数
：时间的科学》中）以及哲学家叔本华(Arthur Schopenhauer)都曾坚持整数来源于时间
的直觉这一思想。
布劳维认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只
受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。这种基本的直觉概念不应被理解为像在公
理理论中的那种未下定义的概念，而应设想为某种东西，只要它们在数学思维中确实是
有用的，用它就可以对出现在各种数学系统中的未下定义的概念做出直观上的理解。另
外，数学是综合的，它包含的是真理而不是推导出逻辑的隐含意义。
布劳维认为“要在这个构造过程中发现数学唯一可能的基础，必须再三思考，反复斟酌
：哪些论点是直觉上可接受的，头脑中所自明的；哪些不是。”是直觉而不是经验或逻
辑决定了概念的正确和可接受性。当然，必须记住，这一陈述并未否认经验所起的历史
作用。
除了自然数以外，布劳维坚持认为加法、乘法和数学归纳法在直觉上是清晰的。而且，
当头脑已获得自然数1，2，3……的概念后，使用“空洞形式”无限重复的可能性，从n
到n+1的步骤，就产生了无穷集合。然而，这种集合只是潜无穷，因为对于任一给定的有
限数集，总可以加入一个更大的数。布劳维否定了康托尔的所有元素都“一下子”出现
的无限集，并因此否定了超限数理论、策梅罗的选择公理以及使用了真正的无限集的那
部分分析。在1912年的一次演讲中，布劳维确实接受了直至ω的基数和可数集。他还承
认了由有理数序列无规则排列所定义的无理数，即“自由选择的序列”。这一定义是模
糊的，但确实给出了一个实数的不可数集。而在另一方面，几何则涉及到了空间，因此
，它不像数那样是完全受我们头脑支配的，综合的几何学属于物理科学。
关于无穷集的直觉派的观点，直觉主义者魏尔在1946年的一篇文章中写道：
数目的序列，其增长超过任何一个已达到的阶段，……它是一簇开向无穷的可能性；它
永远处于创造的状态中，并不是一个本来就存在的封闭王国。我们盲目地把一个转换为
另一个，这正是我们的困难（包括那些矛盾）的真正根源——这是比罗素的恶性循环原
理所指出的更为基本的根源。布劳维让我们睁开了双眼，他使我们看到：在超越一切人
类所能实现绝对信仰中培育起来的经典数学走过了头，它与那些可称为真实意义和真理
（以显明为基础）的命题间究竟有多远。
布劳维接着讨论了数学与语言的关系。数学是一个完全自足的活动，它独立于语言，措
辞和语言表达只是为了阐述真理，数学思想更深地扎根于人脑中而不是在语言中。数学
直觉的世界与感知的世界相对，语言作为理解一般事物的工具存在于后者中，而不是数
学中。语言通过符号和声音唤起人脑中思想的摹本，其区别类似于爬山的行动与用语言
来描述这一行动之间的区别。但是数学思想不依赖于语言的外衣，并且事实上要更为丰
富。就算采用了包括符号语言的数学语言，思想也无法被完全地表述出来。此外，语言
与真正数学的主旨也是大相径庭的。
更有意思的是直觉主义关于逻辑的立场，这一点在它反对逻辑主义时尤为突出。逻辑属
于语言，它提供了一套规则体系，用以导出更多的词语关系，这也是为了交流真理。然
而，这里所说的真理在被从直觉上领悟之前并不是真理，而且也并不能保证它一定能被
领悟到。逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不
能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段
，或者说，它们是语言的表现理论，逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦。数学上最重要
的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，
而不是数学依赖于逻辑。逻辑远不如我们的直觉概念可靠，数学也并不需要逻辑来保证
。历史上，逻辑原理是从有限的物体集合的经验中抽象出来的，而又符合一个先验的有
效性，于是，也就适用于无限集合了。
由于布劳维不承认任何先验的，有约束力的逻辑原理，也不承认这种从公理推导结论的
数学工作，因此他拒绝接受19世纪后期的公理化运动和逻辑学派。数学不受逻辑规则的
限制，懂得数学并不需要懂得形式的证明，由于这一原因，那些悖论变得无足轻重。悖
论是逻辑而不是真正的数学的缺陷，因此，相容性这个魔鬼没有任何的意义。相容性肯
定是正确思想的结果，这些思想是有意义的，其正确性可以通过直觉来判定。
然而在逻辑的领域中确有一些清晰的、直观上可接受的逻辑原理或程序，它们可以用来
从老定理中确定新定理，这些原理是基本数学直觉的一部分。可是并非所有的一般逻辑
原理都可被基本直觉所接受，我们对从亚里士多德时代以来就被接受的逻辑原理必须要
有所判别。数学家们一直是过于随便地使用着有限制的亚里士多德法则，以至于导致了
自相矛盾。直觉主义者会问，在处理数学结构时，如果偶尔忽略了直觉而工于语言结构
，那么什么又是允许的或安全的呢？
因此，直觉主义者们对哪些逻辑原理是允许的进行了分析，以使通常的逻辑与正确的直
觉一致并能把它正确地表达出来。布劳维引用了排中律——这个被用得过于随便的逻辑
原理为例。这个原理在历史上起源于推理在有限集合上的应用，并由此抽象而来。它肯
定两个有意义的断言或真或假，后来它就被认为是一条独立的、先验的法则，并且不加
证明地被应用到无穷集合上去了。对于有限集可以通过检验每一个元素来判断是否所有
的元素都具有某个特定的性质，而对于无限集合这个规则则不可实现。我们可能碰巧得
知一个无限集合中的某个元素不具有这个性质，或者通过构造某种集合得知或证明每个
元素都具有这个性质。但无论如何，我们都不能用排中律来证明这个性质是成立的。
这样，如果有人证明了在一个无限整数集中，不是所有的元素都是偶数，而得到至少存
在一个奇数的话，该结论将被布劳维所否定，因为这一论证把排中律应用于无限集合。
但是，此类论证在数学实体的存在性证明中被广泛地采用，例如在证明每个多项式方程
都有一个根中（见第九章）就用到了它，因此许多存在性证明是不为直觉主义者所接受
的。他们说，这样的证明对假定存在的实体来说太模糊了，排中律只可用于有限集合的
情况。因此，对于一个有限整数集，如果证明了不是所有的元素都为偶数，那么就可以
得出至少有一个为奇数的结论了。
魏尔对直觉主义关于逻辑的观点做了如下扩充：
根据他（布劳维）的观点和对历史的知识，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提
取出来的。……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全
部数学的某种东西，从而最终不加证明地将其应用到无限集合的数学中去。这是集合论
的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚。令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而
是矛盾出现得如此之晚。
后来魏尔又补充道，“排中律可能对上帝来说是有效的，他能够一下子检查完自然数的
无穷序列，而对于人的逻辑，这一点却是做不到的。”
布劳维在1923年的一篇论文中给出了一些定理的例子。如果我们否定排中律在无限集合
上的应用，那么这些定理就是不成立的。①尤其是波尔查诺-维尔斯特拉斯(Bolzano-Wei
rstrass)定理——每个有界无穷集有一极限点——是不能证明的。闭区间上连续的函数
存在极大值也是不能证明的。还有海涅-鲍莱尔(Heine-Borel)定理，即从任一个包含或
覆盖一个点的区间的区间集中可选出有限个覆盖该区间的集，也遭到了否定。当然，这
些定理的推论也是不可接受的。
除了反对不受限制地使用排中律来建立数学实体的存在以外，直觉主义者还提出了另一
要求。他们反对用所有元素的属性来定义集合，例如，用红色这个属性来定义集合。直
觉主义者认为适于进行数学讨论的概念或对象——确实存在的对象——必须是可构造的
；也就是说，必须给出一种方法来在有限步骤内举出一个或多个实体，或者一种能将其
计算到任意精度的方法②。这样，π是可以接受的，因为我们可以把它计算到任意小数
位。如果只是证明了存在整数x、y、z、n满足在n≥2时，xn+yn=zn，但并未将这些数具
体化，那么，直觉主义者是不会接受这一证明的。另一方面，素数的定义是构造性的，
因为可以用有限的步骤确定一个数是否为素数。
我们来考虑另一个例子。孪生素数是两个形如l—2和l的素数。例如，5和7，11和13等等
。是否存在无穷多对这样的孪生素数在数学上一直是悬而未决的问题。让我们任意定义
一个使l—2也是素数的最大素数l，如果这样的l不存在，则定义l=1。经典主义者认为l
的定义是无懈可击的，不论我们是否知道有最后一对这样的孪生素数存在。因为，由排
中律可知，这样的最后一对数要么存在，要么不存在。在第一种情况下，l是使l—2为素
数的最大素数。而在第二种情况下l=1，我们不能实际计算出l的这一事实对于非直觉主
义者来说是无所谓的。但是直觉主义者不接受上述l的“定义”是有意义的，除非可以计
算出l，即除非是否存在无穷多对孪生素数这一问题得以解决。用选择公理构造无穷大的
集合也是不被接受的。上面的一些例子说明：有些存在性证明不是构造的。因此，除了
它们可能用了排中律以外，还有其他的理由来拒绝接受它们。
魏尔认为，非构造性的存在证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其地点。当用这样的
证明来代替构造性证明时，其重要性和价值不可能毫无损减。他还指出，坚持直觉主义
哲学意味着放弃经典分析的基本存在定理。魏尔称康托尔有关超限数等级的论述有如雾
中之雾。他在《论连续》（1918年）中写道，分析是建立在沙地上的楼阁，只有由直觉
方法建立起来的东西才是确定的。
对排中律的否定产生了一种新的可能性——不可判定的命题。对于无穷集合，直觉主义
主张还有第三种状况，即可以有这样的命题，既不是可以证明的，也不是不可以证明的
。他们给出了下面的例子：让我们定义π的十进制展开式的第k位出现了第1个零，其后
依次跟着1到9这些整数。亚里士多德的逻辑认为k或者存在，或者不存在。遵循亚里士多
德的数学家则以此两种可能性为基础进一步进行论证。布劳维和直觉主义者普遍反对所
有这类论证，因为我们并不知道我们是否能够证明k存不存在。因此，根据直觉主义者的
观点，一些明白而重要的数学问题永远不能在任何一种数学基础上得到解决。这个问题
对于我们来说似乎是可以断定的，但实际上我们信念的基础只不过是因为它们涉及到了
过去已经断定了的数学概念和问题。
按直觉主义者的观点，关于实数系、微积分、现代的实函数理论、勒贝格积分以及其他
方面的经典结构和逻辑主义结构是不可接受的。布劳维和他的支持者们没有局限于批评
，而是试图把数学建立在他们所描述的结构的基础之上。他们成功地挽救了上述学科的
一部分，但是他们的结构过于复杂。就连魏尔也抱怨说，这些证明笨拙得令人难以忍受
。另外，直觉主义者还重构了代数和几何的基础部分。
然而，重构工作进展缓慢。因此，希尔伯特在他的《数学的基础》（1927年）一文中说
，“与现代数学的突飞猛进相比，直觉主义者所取得的少而孤立的结论既不完善也不相
互关联，这些可怜的残余算得了什么。”当然，1927年时，直觉主义者在按他们的标准
重构经典数学方面，还没有取得太大的进展，但来自他们的哲学对手的挑衅激怒了他们
。从那时起，越来越多的直觉主义者着手重建基础的工作。不幸的是，与逻辑学派一样
，他们在什么是可接受的基础这一问题上也产生了分歧。有的认为应剔除所有广义集合
论公理化的观点，他们限定自己只使用可以被有效定义或构造的概念。有的则是构造主
义者，他们并不那么极端，他们不但不怀疑经典逻辑，而且还利用它所有的观点。有的
则承认一个数学客体的类，并以此坚持构造过程。这样一来，就有许多人承认至少有一
个实数类（不能扩展到整个实数连续统）；而另一些人则只接受整数，他们只愿意考虑
诸如那些可计算的其他数和函数的概念，而那些被认为是可计算的东西也不尽相同。因
此，一个数如果可被某些由可接受的数构成的集合越来越精确地逼近，就好像一个一般
无理数能被一个有限小数越来越精确地逼近，那么它就是可计算的。
不幸的是，构造性的定义绝不能说是清晰明确的。我们来考虑下述关于数N的定义：
假设p=3，则N=1-0.001或0.999。设p=2，则N=1.01。现在我们把p定义成π的十进制展开
式中出现序列123456789后的第一位。若不存在这样的p，我们定义N为1；若存在这样的p
并且为一偶数，则N=1.000……直到第p个位置，N的小数部分在这一位上是1。若p为奇数
，则N=0.999……直到第p位。然而我们并不知道这样定义的p是否存在。若不存在，则N=
1，若存在，但并不在π的十进制展开式的头一千位内，则我们不能写出N的值。然而N是
被定义了的，甚至定义到了任意精度位上，N还是构造性定义的吗？
当然，使用了选择公理或连续统假设的存在性证明不是构造性的，因此不仅对直觉主义
者，甚至对许多非直觉主义的数学家来说都是不可接受的。
虽然在构造主义者之间存在着分歧，但还是可以说，他们重建了经典数学中的很大一部
分。有些重建的理论所肯定的东西不如在经典理论中的多，对于这个问题，直觉主义者
的回答是：尽管经典分析是有用的，但它的数学真理性却比较少。总之，他们的进展受
到了很大的限制，而且，将他们的工作扩展到先前已接受的数学中去的前景并不美妙。
由于进展缓慢，甚至连布尔巴基学派的数学家（关于他们，我们将在后文中讲述）也在1
960年说：“毫无疑问，直觉学派注定将会只作为一个历史奇观而被缅怀。”对直觉主义
的批评可以引用诗人S.霍芬森的一段诗：
一点一点的，我们从事实中
抽去谬误，也抽去信念，
仅靠残留的真实的幻影，
我们忍饥挨饿，勉强为生。
然而，对直觉主义者来说，如果建立一个合理的基础必须牺牲经典数学的一部分，甚至
是牺牲康托尔的超限数“天堂”的话，这个代价也还是不算太高的。
尽管直觉主义的反对者对直觉主义这种数学哲学的驳斥过于傲慢和武断，但对许多持有
同情心的人们的批评则必须严肃对待。有这样一种批评指出，直觉主义者努力重建的，
与其原则相一致的理论并不能由人类的直觉提出，也很难用人类的直觉来保证。这些理
论已被数学家所用过的所有方法、所有类型的推理、猜想、从特殊情况中所得到的归纳
，以及那些来源不明的瞬间灵感所得出。因此，在实践中，像所有的数学家一样，直觉
主义者实际上依赖的是常规的建立方法，甚至是古典逻辑，尽管直觉主义者寻求的是一
种与他们自己的原则相一致的重建理论的证据。直觉主义者也许会这样回答：尽管须要
用到一些发现的常规方法，它们的结论还是肯定能被人类的直觉所接受的。然而，在不
否定直觉主义中其他思想的重要性的情况下，事实仍然是：许多连直觉主义者都接受的
理论对直觉来说也是如此的微妙和不可思议，很难相信人的头脑能直接认识到它们的真
实性。
创造的常规方式和数学的理想化、抽象化的常规方式是基本的，这一论断由F.克莱因和
帕斯更推进了一步。直觉能发现一种连续却无处可导的函数或一条填满正方形的曲线（
皮亚诺曲线）吗？这种创造，即使可由直觉提出，也必须经过理想化和抽象化的提炼。
克莱因说简单幼稚的直觉是不准确的，而经过提炼后的直觉却又根本不是真正的直觉，
它来自于建立在公理基础上的逻辑发展。我们将最终依赖于从公理出发的逻辑推理。对
此，布劳维说，一个公理系统必须用解释或模型的方式来证明相容性（见第八章），而
这种解释或模型本身也必须是相容的。他尖锐地问道，我们总能找到这样的解释，而且
不依赖于直觉基础而接受其相容性吗？
魏尔也对传统的创造方式和证明更为有力这一断言提出了挑战。在他的《思维与自然》
（1934年）中，他说：“那种指望着揭示一个比展现在直觉面前的自然更为深入的自然
的想法是个不太可能实现的梦想。”
一些直觉主义者的对手们也赞同数学是一种人类的创造。但他们认为对错是客观决定的
，而直觉主义者依靠的却是难免出错的人类头脑的自明。在希尔伯特和伯奈斯(Paul
Bernays)关于数学基础问题的著作第一版的论述中，我们看到了直觉主义哲学致命的弱
点。如果正确性意味着人类头脑的自明，那么我们可能依赖什么样的概念和推理呢？而
对所有人类都具有客观有效性的真理又在哪里呢？
另一个对直觉主义的批评指出直觉主义与数学在自然中的应用无关。直觉主义没有把数
学和感知联系起来。布劳维承认直觉主义没有实用价值，实际上，布劳维否定人类对自
然的支配。不管批评是什么，魏尔在1951年说，“我想每个人都必须接受布劳维的批评
，他所想要坚持的是这样一个信念：数学命题陈述的是纯粹的真理，基于显明的真理。
”
直觉主义学说引起了一个相关的问题。正如我们所知，他们坚持认为正确的，可接受的
思想能被并且已被人类的头脑所领悟。这些思想并非起源于语言形式，实际上，语言只
是传输这种思想的一种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是思想是否能脱离
语言而独立存在。一方面，存在着这样一种观点，可用圣约翰在《福音》中所说：“打
世界创立之初，就存在着语言。”尽管圣约翰并没有什么数学头脑，但他的论述却与希
腊哲学观和一些现代心理学家的观点不谋而合；另一方面，见克莱则坚决认为语言是思
想的累赘。
欧拉在给普鲁士王国腓特烈一世的侄女安霍-德骚(Anhalt-Dessau)公主的信中（发表于1
768—1772年间），讨论了这个问题：
无论一个人运用抽象的能力有多么强，同时还在头脑中融入了一般的思想，但如果没有
书面的或口头的语言作为帮助，他就不可能取得重大的进展。这两种方式都包含了大量
的词汇，它们只是与我们思想相对应的一些特定的符号。它们的含义是由习俗或由群居
在一起的人们的默认所决定的。
从这里可以看出，对人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知。
一个孤立的人没有它也可以过得很自在，但我们只要稍加思考就足以明白：人类确实需
要语言。这是与其他人沟通的需要，同时也是培养、磨炼他们自己的思想的需要。
阿达马在《数学领域中的创造心理》（1945年）中考查了这样一个问题：数学家们是如
何思考的。他发现在创造过程中，所有的数学家实际上都避免使用准确的语言，他们用
的是含糊的、可见或可触摸到的印象。爱因斯坦在一封信中（后被载入阿达马的书中）
描述了这种思维模式：
写下来的词句或说出来的语言在我的思维机制里不起任何作用。……那些似乎可用来作
为思维元素的心理实体，是一些能够“随意地”使之再现并且结合起来的符号和多少有
点清晰的印象。……对我来说，上述那些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。只有
在第二阶段，才有必要费神地去寻求惯用的词或其他记号。……
当然，形象化在创造行为中起了主要作用，将欧几里得平面划分为两部分的无限长直线
就来自于形象。这样，问题就可以归纳为，大脑对一个事实（不管是怎样得到的）的把
握是否已达到如此确定的程度（就如同直觉主义者所主张的那样），以致于使用准确语
言和逻辑证明来表达变得不是那么重要了呢？
作为一种能促进与形式逻辑主义者交流的友好表示，海丁(Arend Heyding)这位继布劳维
后的直觉主义的主要倡导者，在1930年发表的一篇论文中，提出了直觉主义命题逻辑的
形式法则。其中只包括了经典形式逻辑的一部分。例如，海丁允许p为真的命题蕴涵着p
为假为假的命题。但是如果p为假为假，却不能导出p为真，因为关于p的断言是不可构造
的。排中律——p或非p必为真——这里没有用到。但是如果命题p蕴涵着命题q，那么q的
否命题则蕴涵着p为假。直觉主义者并不认为这种形式化是基本的，它只是对思想的不完
全表达。此外，形式化并非海丁一家所独有，直觉主义者在可接受的逻辑原则问题上各
有分歧。
尽管直觉主义者对数学添加了很多限制，尽管还存在着来自直觉主义哲学其他部分的批
评，但直觉主义却带来了有益的影响。它首次严肃讨论了有关选择公理的问题并将其放
到了显著的地位上。数学中的存在性意味着什么？它对于解释魏尔的理论，对于知道那
个具有特殊性质却无法认识或计算的数的存在有什么好处吗？那种对排中律没有限制地
、天真地扩展无疑需要重新考虑。直觉主义者最有价值的贡献也许就是他们在计算数或
函数问题上所坚持的主张，即在论证这些数及函数的存在时，仅证明不存在将会导致矛
盾。要详细了解这些数就好像要与朋友住在一起而不是仅仅知道有个朋友住在这个世界
的某个地方。
逻辑主义者与直觉主义者的对抗只是在围绕着建立数学的适当基础的纷争中的首次交锋
。其他的竞争者也加入了这场纷争，我们暂且拭目以待。
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① 一种逻辑错误。把未经证明的判断作为证明论题的依据。——译注
① 从我们这里的目的出发，定理这个词的专用意义毋须深究。这里只是用来给出特定的
例子。——原注
② 彭加勒是个例外。他认为形式主义者（见第十一章）可以接受不导致悖论的概念。—
—原注