从动态规划到配对序列联配（二）

阅读本文前，建议先去阅读从动态规划到配对序列联配（一）

编辑距离

上一个例子的斐波那契数列过于简单，以至于难以体现出使用DP编程的具体步骤。这次我们以一个具体的例子来讲解DP算法解决问题三个步骤，即

1. 定义子问题：通过数学符号描述子问题的状态
2. 定义状态数组：记录计算过程中得到中间结果，方便后续调用
3. 定义动态转移方程：如何从前一个问题推导出当前问题

大部分搜索引擎都有一个功能，能够对你的输入尝试进行纠错，例如我故意把ggplot2输入成ggpolt2，搜索很智能的将这个错误输入替换成了“它认为正确”的输入。

自动替换

评估两个字符串的相似度有两个常用方法，最长公共子串(Longest common substring length)和莱温斯坦距离(Levenshtein distance). 最长公共子串允许插入和删除，描述的是两个字符串相同的子串长度，也就是相似程度。莱温斯坦距离允许插入，删除和替换，描述一个字符串转变另一个字符串所需要的操作次数，也就是相异程度。

距离评估

后续只演示如何使用DP计算两个字符串的莱温斯坦距离。

我们需要先定义子问题，也就是把复杂的问题拆解成容易解决的简单问题，并能用数学符号进行描述其状态。这里就有一个问题，我们需要使用几个数学符号？我们可以通过分析问题中自变量和因变量来确定数学符号的数量。在本问题中，自变量就是两个字符串的长度，而因变量就是随着长度（自变量）改变而发生改变的编辑次数。于是我们用f(i,j)表示字符串1(后面简称S1) 前i 个字符和字符串2(后面简称S2) 前j个字符的编辑次数。

我们可以发现，在定义子问题的状态过程时，涉及到两个变量，因此我们用一个二维数组表示不同组合的状态，定义为DP[i][j]

接着我们来思考当前状态和之前的状态的关联。根据可能的操作（插入，删除和替换），当前的子问题可以由三种情况中的一种转移过来（后续举例基于当前状态S1="gg", S2="gg" ）

• DP[i-1][j] , 也就是"g"和"gg", 我们可以通过在S1的"g"插入一个字符，得到S2的"gg"，操作次数加1
• DP[i][j-1], 也就是"gg"和"g", 我们可以通过在S2的"g"插入一个字符，得到S1的"gg", 操作次数加1
• DP[i-1][j-1], 也就是"g","g"， 两个字符串相同，操作加0。如果是不相同，那就是替换，操作次数加1

当前选择策略，取决于每个子问题状态的取值，我们从中选取最小的编辑次数作为当前的操作。

我们可以手工的方式根据状态转移方程填充我们的状态数组，如下所示。

状态转移表

知道思路之后，就可以写代码了。以C++为例

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int dist(string s1, string s2){

    int m = s1.length();
    int n = s2.length();
    //初始化状态
    int dp[m+1][n+1];
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 0; i < m+1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 0; i < n+1; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }
    //递归状态表
    for (int i = 1; i < m + 1; i++){
        for (int j = 1; j < n + 1; j++){
            if (s1[i-1] == s2[j-1]){
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            } else{
                vector state{dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]};
                dp[i][j] = *min_element(state.begin(), state.end()) + 1;
            }
            //printf("%d-%d: %d\n",i, j, dp[i][j]);
        }
    }
    //输出结果
    return dp[m][n];
}


int main(int argc, char const *argv[])
{
    printf("dist is: %d\n", dist("ggpolt2", "ggplot2"));
    return 0;
}

代码都是基本语法，很容易转成其他编程语言（R语言要注意数组从1开始，而不是0）。个人觉得有以下几个注意点

• 数组大小为 (m+1) x (n+1) 也就是原来字符串的长度加上空字符串。
• 对第一行和第一列进行初始化。因为后续会从i=1开始递推
• 对于第i列，第j列，对应的字符是S1[i-1]和S2[j-1]。例如DP[1][1], 记录的是第一个字符串的匹配情况，由于C/C++以0作为第一个位置，因此比较的是S1[0]和S2[0]
• c++算法的min_element支持求多个元素中的最小值，只不过它的要求输入是容器，因此需要先构建一个容器。此外他返回的是一个指针，因此具体的值需要利用*求值

但你学习了编辑距离后，是不是感觉这和我们的序列联配有点相似，都是通过一系列操作的将一个序列转成另一个序列。我可以列举下两者的联系

• 字符串限定为核苷酸或者氨基酸
• 如果两个字符相同，序列联配语境中为匹配(match)
• 如果两个字符串不相同，序列联配中为错配(mismatch)
• 将一个字符串替换成一个字符，序列联配语境中为，替换(substitute)
• 删除一个字符或者加入一个字符，序列联配语境中为插入缺失(InDel)
• 一个字符串变为另一个字符串的编辑次数，序列联配语境中为得分(score)

为了评估两个序列的相似度，我们可以评估两个序列联配后的得分大小，不同的操作有不同的分，也就是得分矩阵(score matrix)。

另外为了输出最终的联配后续列，我们需要从最优状态不断溯源(trace back)，从而得到联配结果。

小结一下，本文介绍了使用DP求解编辑距离问题的步骤，是后续生物序列联配的铺垫，