硬币找零问题（动态规划）

1、题目表述

    给定需要找零的面值money和可以使用的硬币种类（这里假设每种硬币的数量有无限多种），求出用这些硬币找零所需要的最小硬币数。比如money = 7，硬币种类为[1,2,5]，那么需要找零1个面值2的硬币和1个5的硬币，总的硬币数为2个。

2、解题思路

   使用动态规划求解：我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0) = 0， 表示凑够0元最小需要0个硬币。当i = 1时，只有面值为1的硬币可用，所以：

    d(1) = d(1-1) + 1 = d(0) + 1 = 0 + 1 = 1；

当 i=2时，此时可用的硬币为1和2，那么我们使用哪个呢？必须要确保我们选择的这种硬币使得硬币数最小，因此我们的选择为：

    d（2）= min{ d( 2 - 2) + 1，d（2 -1）+ 1} = min{ d（0）+1，d（1）+1 } = 1；

当i = 3时，可用的硬币为1和2，我们的选择为：

    d（3）= min{ d( 3 - 2) + 1，d（3 -1）+ 1} = min{ d（1）+1，d（2）+1 } = 2；

当i =4 时，可用的硬币为1和2，我们的选择为：

    d（4）= min{ d(4 - 2) + 1，d（4 -1）+ 1} = min{ d（2）+1，d（3）+1 } = 2；

当i =5 时，可用的硬币为1、2、5，我们的选择为：

    d（5）= min{ d(5 - 5) + 1，d(5 - 2) + 1，d（5 -1）+ 1} = min{ d（0）+1，d（3）+1，d（4）+1 } = 1。

代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int main() {
	int money = 63;
	vector coin({ 1,2,5,21,25 });
	sort(coin.begin(), coin.end());
	vector status;
	for (int i = 0; i <= money; i++)
		status.push_back(0);

	for (int i = 1; i <= money; i++) {		
		int min = INT_MAX;
		int j = 0;
		while (j= 0) {
			min = min >(status[i - coin[j]]) ? (status[i - coin[j]] + 1) : min;
			j++;
		}		
		status[i] = min;
	}

	for (int i = 0; i < status.size(); i++)
		cout << status[i] << " ";
	cout << endl;
	if (status[money] == 0)
		cout << "can not find" << endl;
	else
		cout << status[money]<

    注意：在实际情况中可能存在找不开的情况，因此除了d（0）以外，其它情况下d（i）= 0表示这种面值的零钱找不开，在使用时需要考虑这一点。