KM算法思路:
KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B [i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:
两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶 标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改 顶标后,要把所有的slack值都减去d。
KM(O(n^3))
#define M 205
#define inf 0x3fffffff
bool visx[M], visy[M];
int match[M], w[M][M], n, m, d;
int lx[M], ly[M];//顶标
int slack[M];
//n:左集元素个数; m:右集元素个数
bool dfs (int u)
{
int v;
visx[u] = true;
for (v = 0; v < m; v++)
{
if(visy[v])
continue;
if (lx[u]+ly[v]==w[u][v])
{
visy[v] = true;
if (match[v] == -1 || dfs (match[v]))
{
match[v] = u;
return true;
}
}
else if(slack[v]>lx[u]+ly[v]-w[u][v])
slack[v]=lx[u]+ly[v]-w[u][v];
}
return false;
}
int KM ()
{
int i, j, sum = 0;
memset (ly, 0, sizeof(ly));
for (i = 0; i < n; i++)
{
lx[i] = -inf;
for (j = 0; j < m; j++)
if (lx[i] < w[i][j])
lx[i] = w[i][j];
}
memset (match, -1, sizeof(match));
for (i = 0; i < n; i++)
{
for(j=0; j slack[j])
d = slack[j];
for (j = 0; j < n; j++)//修改x的顶标
if (visx[j])
lx[j] -= d;
for (j = 0; j < m; j++)//修改y的顶标
if (visy[j])
ly[j] += d;
else
slack[j] -= d;
}
}
for (i = 0; i < m; i++)
if (match[i] > -1)
sum += w[match[i]][i];
return sum;
}
#define M 505
#define inf 0x3fffffff
bool visx[M], visy[M];
int match[M], w[M][M], n, m, d;
int lx[M], ly[M];//顶标
//n:左集元素个数; m:右集元素个数
bool dfs (int u)
{
int v;
visx[u] = true;
for (v = 0; v < m; v++)
{
if (!visy[v] && lx[u]+ly[v]==w[u][v])
{
visy[v] = true;
if (match[v] == -1 || dfs (match[v]))
{
match[v] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int KM ()
{
int i, j, k, sum = 0;
memset (ly, 0, sizeof(ly));
for (i = 0; i < n; i++)
{
lx[i] = -inf;
for (j = 0; j < m; j++)
if (lx[i] < w[i][j])
lx[i] = w[i][j];
}
memset (match, -1, sizeof(match));
for (i = 0; i < n; i++)
{
while (1)
{
memset (visx, false, sizeof(visx));
memset (visy, false, sizeof(visy));
if (dfs (i))// 用匈牙利算法寻找完备匹配
break;
d = inf;
for (j = 0; j < n; j++)
if (visx[j])
for (k = 0; k < m; k++)
if (!visy[k])
d = min (d, lx[j]+ly[k]-w[j][k]);
for (j = 0; j < n; j++)//修改x的顶标
if (visx[j])
lx[j] -= d;
for (j = 0; j < m; j++)//修改y的顶标
if (visy[j])
ly[j] += d;
}
}
for (i = 0; i < m; i++)
if (match[i] > -1)
sum += w[match[i]][i];
return sum;
}