非整数0-1背包问题

0-1背包问题通常情况下物品的重量是整数的，采用动态规划可以解决，在解决物品重量非整数情况下的背包问题之前，我们先来回顾整数背包问题，并从中寻找解决非整数背包问题的方法。

问题定义：有n种物品和一个容量为c的背包，第i件物品的重量为wi，价格为vi,求出哪种物品组合放入背包使物品价值总和最大。

整数0-1背包问题

设p(i,j)表示在容量为j情况下，将物品i，i+1…n组合的放入背包的最优解的值

则其转移方程为

如果 j>=wi ，p(i,j) = max(p(i+1,j), p(i+1,j-wi )+vi )

如果 j<wi , p(i,j) = p(i+1,j)

可以理解为当j<wi ,背包无法放下第i件物品，所以其最优解和考虑放i+1到n的物品到容量为j的背包的最优解相同。当j>=wi 时，可以选择放和不放第i件物品，当不放时背包价值和p(i+1,j)相同，当放时背包价值为p(i+1,j-wi )再加上第i件物品的价值。

所以整数背包问题可以采用动态规划解决，开辟n*c的数组，从下往上不断更新数组的值，得到p(i,j)的值，最优解就是p(0,c)的值

public static int solution(int c, int[] v, int[] w){
    if(v.length != w.length){
        throw new IllegalArgumentException();
    }
    int n = v.length;int m = c+1;
    int[][] result = new int[n][m];
    for(int i = 0;i < m;i++){
        result[n-1][i] = i>=w[n-1]? v[n-1]:0;
    }
    for(int i = n-2;i>=0;i--){
        for(int j = 0;j < m;j++){
            if(j < w[i]){
                result[i][j] = result[i+1][j];
            }else {
                result[i][j] = Math.max(result[i+1][j], result[i+1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    traceBack(c, v, w, result);
    return result[0][c];
}

路径回溯，找到最优组合

private static void traceBack(int c, int[]v, int[] w, int[][] p){
    int k = c;
    List trace = new ArrayList<>();
    int i;
    for(i = 0;i < p.length-1;i++){
        if(p[i][k] == p[i+1][k-w[i]]+v[i]){
            k = k - w[i];
            trace.add(i+1);
        }
    }
    if(p[i][k] == v[i]){
        trace.add(i+1);
    }
    System.out.println(trace);
}

整数0-1背包问题的改进

例如背包的容量为10，5件物品的重量分别为2，2，6，5，4 ，对应价值分别是6，3，5，4，6，则p(i,j)数组的更新情况如下

weight	value	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	6	6	6	9	9	12	12	15	15	15
2	3	3	3	6	6	9	9	9	10	11
6	5	0	0	6	6	6	6	6	10	11
5	4	0	0	6	6	6	6	6	10	10
4	6	0	0	6	6	6	6	6	6	6

当背包的容量很大（即c的值特别大），则这个数组将会异常的庞大，并且数组的每一个数都需要更新，算法需要的计算时间较多。

所以可以进行适当的改进，从上面的表格来看，我们无需记录数组种的每一个数，只需要记录下每行的跳跃点即可，比如最后一行从第4列开始跳跃，我们只需记录{(0,0),(4,6)}即可,倒数第二行只需记录{(0,0),(4,6),(9,10)}即可。接下来的问题是如何更新每行的跳跃点。

p[5] = {(0,0),(4,6)}

将p[5]的跳跃点加上下一个需要放入的物品的重量和价值，则可以得到q[5] = p[5]+(5,4) = {(5,4),(9,10)},

将p[5]和q[5]合并得到{(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}，之后去除重量大却价值小的点，如(5,4)点，放入背包的物品总重量大于4，价值却只有4小于6，所以通过比较(5,4)和(4,6)需要去掉(5,4)得到p[4] = {(0,0),(4,6),(9,10)}