计算直线的交点数—动态规划

  计算直线的交点数

Problem Description

平面上有n条直线，且无三线共点，问这些直线能有多少种不同交点数。
比如,如果n=2,则可能的交点数量为0(平行)或者1(不平行)。

问题分析

将n条直线排成一个序列，直线2和直线1最多只有一个交点，直线3和直线1，2最多有两个交点,……，直线n 和其他n-1条直线最多有n-1个交点。由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数：

Max = 1 +2 +……+（n-1）=n(n-1)/2;

这些直线有多少种不同的交点数

 当n = 1， 2， 3时情况很容易分析。当n = 4 时，我们可以按如下分类方法，逐步计算。

 1. 四条直线全部平行，无交点。

 2. 其中三条平行，交点数: 3*(n-3)+0 = 3；

 3. 其中两条平行，而另外两条直线的交点既可能平行也可能相交，因此交点数据分别为：

   2*(n-2) + 0 = 4

   2*(n-2) + 1 = 5

4. 四条直线互不平行， 交点数为1*(n-1) + {3条直线的相交情况}：

   1*(n-1)+0=3 
   1*(n-1)+2=5 
   1*(n-1)+3=6

即n=4时，有0, 3, 4, 5, 6个不同的交点数.所以有5种可能。

从上述n=4的分析过程中，发现：

m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。(1<=r<=m)

{m条直线的交点数集合} = U {  r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合}  } =  U {  r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合}  }。(1<=r<=m)

 注意：数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

 如何编写程序？

 程序框架如下：

//U_i表示i条直线的交点数集合

初始化U₀= {0}, U₁= {0}

For n = 2 to N

   U_n = {}                            //初始化U_n 为空集

   For i = 1 to n       //i表示平行线个数

                   U_n =U_n  U  { i*(n-i) + U_n-i}        //并运算

 注意：数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

 用C++代码实现，我们可以用set集合，最简单的方法是用数组表示交点数集合。

二维数组 p[i][j] 表示i条直线，j个交点数是否存在。存在值为1，不存在值为0.

#include
int main()
{
 int p[21][200], n; //200为交点数的上限，交点数为1+2+3+…(n-1)
 memset(p, 0, sizeof(p));
 for(int i=0; i<21; i++)
 p[i][0]=1; //不管多少直线都存在0个交点的情况，即所有直线平行
 for(int n=2; n<21; n++) //动态规划p[i][j]表示i条直线，交点数为j.当  p[i][j]=1,则表示i条直线中，存在交点数为j的情况
     for(int i=1; i < n; i++) //n条直线平行的情况已经考虑了，无需重复
          for(int j=0; j<200; j++)
              {
                 if(p[n-i][j]==1)
                    p[n][j+i*(n-i)]=1;  

              }

 while (scanf("%d", &n) != EOF)
 {
    for (j=0; j <= n*(n-1)/2; j++)   //n*(n-1)/2能形成的最大交点数
    {
     if (f[n][j])
             printf("%d ",j);
    }
     printf("\n");
 }
   return 0;

}