数据结构（五）树的定义

1. 树的定义

树（Tree）：n（n≥0）个结点构成的有限集合

当 n=0 时，称为空树

1. 特征

对于任一棵非空树（n＞0），它具备以下特征：

• 树中有个称为“根（Root）”的特殊结点，用 r 表示
• 其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集 T${}_1$, T${}_2$,…, T${}_m$,其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的"子树（SubTree）"
• 子树是不相交的
• 除根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一棵 N 个结点的树有 N-1 条边

2. 基本术语

• 结点的度（Degree）：结点的子树个数
• 树的度：树的所有结点中最大的度数
• 叶结点（Leaf）：度为 0 的结点
• 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
• 子结点（Child）：若 A 结点是 B 结点的父结点，则称 B 结点是 A 结点的子结点，也称孩子结点
• 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各个结点彼此是兄弟结点
• 路径：从结点 n${}_1$ 到 n${}_k$ 的路径为一个结点序列 n${}_1$,n${}_2$,…,n${}_k$，n${}_i$ 是 n${}_{i+1}$ 的父结点
• 路径长度：路径所包含边的个数
• 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点
• 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙
• 结点的层次（Level）：规定根结点在 1 层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加一
• 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度

3. 树的表示

1. 儿子-兄弟表示法

• Element 存值
• FirstChild 指向第一个儿子
• NextSibling 指向下一个兄弟

2. 二叉树

即度为 2 的树

• Element 存值
• Left 指向左子树
• Right 指向右子树

二叉树其实就是儿子-兄弟表示法的链表右移 45° 得到的结果

2. 二叉树

1. 定义

​ 二叉树 T：一个有穷的结点集合

​ 这个集合可以为空

​ 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树T${}_L$和右子树T${}_R$的两个不相交的二叉树组成

​ 二叉树的子树有左右顺序之分

2. 五种基本形态

3. 特殊形态

• 斜二叉树

  只有左儿子或只有右儿子

  

• 完美二叉树（满二叉树）

  除最后一层叶结点外，每个结点都有两个子结点

  

• 完全二叉树

  有 n 个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为 i（1 ≤ i ≤ n）结点与满二叉树中编号为 i 结点在二叉树中位置相同

  

4. 重要性质

• 一个二叉树第 i 层的最大结点数为：2${}^{i-1}$，i ≥ 1
• 深度为 k 的二叉树有最大结点总数为：2${}^k$ -1，k ≥ 1
• 对任何非空二叉树 T，若 n${}_0$ 表示叶结点的个数、n${}_2$ 是度为 2 的非叶结点个数，那么二者满足关系 n${}_0$ = n${}_2$ +1

5. 抽象数据类型定义

• 类型名称：二叉树

• 数据对象集：一个有穷的结点集合，若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成

• 操作集：BT ∈ BinTree，Item ∈ ElementType

  主要操作有：

  • Boolean IsEmpty(BinTree BT)：判别 BT 是否为空
  • void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每个结点
  • BinTree CreatBinTree()：创建一个二叉树

  常用的遍历方法有：

  • void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序——根、左子树、右子树
  • void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序——左子树、根、右子树
  • void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序——左子树、右子树、根
  • void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历，从上到下、从左到右

1. 顺序存储结构

按从上至下、从左到右顺序存储 n 个结点的完全二叉树的结点父子关系：

• 非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 ⌊i/2⌋（向下取整）
• 结点（序号为 i）的左孩子结点的序号是 2i（若 2 i ≤ n，否则没有左孩子
• 结点（序号为 i）的右孩子结点的序号是 2i+1（若 2 i +1 ≤ n，否则没有右孩子

2. 链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
struct TreeNode{
	Element Data;  // 存值 
	BinTree Left;    // 左儿子结点 
	BinTree Right;   // 右儿子结点 
};