动态规划实例（七）：01背包问题最大价值

    在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。
   注意：在本题中，所有的体积值均为整数。01的意思是，每个物品都是一个整体，要么整个都要，要么都不要。
    1）最优子结构
    考虑所有物品的子集合，考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中  2. 不在最优方案中因此，能获得的最大价值，即为以下两个值中较大的那个
        1) 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了 第n个物品)
        2)  第n个物品的价值 加上 剩下   剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)
    如果第n个物品的重量，超过了当前的剩余重量W，那么只能选情况1)， 排除第n个物品。

    2) 重叠子问题*/

具体实例及实现代码如下所示：

/**
 * @Title: ZeroOneKnapSack.java
 * @Package dynamicprogramming
 * @Description: TODO
 * @author peidong
 * @date 2017-6-8 上午8:54:18
 * @version V1.0
 */
package dynamicprogramming;

/**
 * @ClassName: ZeroOneKnapSack
 * @Description: 0-1背包问题
 * @date 2017-6-8 上午8:54:18
 *
 */

public class ZeroOneKnapSack {

    /**
     *
     * @Title: knapSackRecursion
     * @Description: 递归求解0-1 规划问题  , 返回前n个物品在容量为w，得到的最大价值
     * @param w 背包总重量
     * @param wt 物品重量数组
     * @param vt 物品价值数组
     * @param n 物品数量
     * @return
     * @return int
     * @throws
     */
    public static int knapSackRecursion(int w, int[] wt, int[] vt, int n){
        //边界条件判断
        if(n == 0 || w ==0)
            return 0;
        //d当前n个物品超重时
        if(wt[n-1] > w)
            return knapSackRecursion(w, wt, vt, n-1);
        else
            return Math.max(vt[n-1] + knapSackRecursion(w-wt[n-1], wt, vt, n-1), knapSackRecursion(w, wt, vt, n-1));
        //返回如下两种情况较大值（1）包含第n个物品（2）不包含第n个物品
    }

    public static int knapSack(int w, int[] wt, int[] vt, int n){
        //创建状态转移矩阵
        int[][] tc = new int[n+1][w+1] ;

        //构建状态转移矩阵
        for(int i = 0; i<= n; i++){
            for(int j = 0; j <= w; j++){
                //边界条件
                if(i == 0 || j == 0){
                    tc[i][j] = 0;
                }else if(wt[i-1] <= j)
                    tc[i][j] = Math.max(vt[i-1] + tc[i-1][j-wt[i-1]], tc[i-1][j]);
                else
                    tc[i][j] = tc[i-1][j];
            }
        }
        return tc[n][w];
    }
    /**
     * @Title: main
     * @Description: TODO
     * @param args
     * @return void
     * @throws
     */
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub

        int[] vt = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5};
        int[] wt = {8, 10, 13, 15, 20, 24, 28, 33};
        int w = 12;
        int n = vt.length;

        System.out.println("利用递归求解01背包问题最大价值为：" + knapSackRecursion(w, wt, vt, n));
        System.out.println("利用动态规划求解01背包问题最大价值为：" + knapSack(w, wt, vt, n));
    }

}