【LeetCode】 Best Time to Buy and Sell Stock I II III IV 解题报告

原文地址:http://liangjiabin.com/blog/2015/04/leetcode-best-time-to-buy-and-sell-stock.html (已失效)

Best Time to Buy and Sell Stock I

题意: 用一个数组表示股票每天的价格,数组的第i个数表示股票在第i天的价格。 如果只允许进行一次交易,也就是说只允许买一支股票并卖掉,求最大的收益。

分析: 动态规划法。从前向后遍历数组,记录当前出现过的最低价格,作为买入价格,并计算以当天价格出售的收益,作为可能的最大收益,整个遍历过程中,出现过的最大收益就是所求。

代码: 时间O(n),空间O(1)。

public class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0;
        
        int maxProfit = 0;
        int curMin = prices[0];
        
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            curMin = Math.min(curMin, prices[i]);
            maxProfit = Math.max(maxProfit, prices[i] - curMin);
        }
        
        return maxProfit;
    }
}

Best Time to Buy and Sell Stock II

题目: 用一个数组表示股票每天的价格,数组的第i个数表示股票在第i天的价格。交易次数不限,但一次只能交易一支股票,也就是说手上最多只能持有一支股票,求最大收益。

分析: 贪心法。从前向后遍历数组,只要当天的价格高于前一天的价格,就算入收益。

代码: 时间O(n),空间O(1)。

public class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0;
        
        int maxProfit = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i - 1];
            if (diff > 0) {
                maxProfit += diff;
            }
        }
        
        return maxProfit;
    }
}

Best Time to Buy and Sell Stock III

题意: 用一个数组表示股票每天的价格,数组的第i个数表示股票在第i天的价格。最多交易两次,手上最多只能持有一支股票,求最大收益。

分析: 动态规划法。以第i天为分界线,计算第i天之前进行一次交易的最大收益preProfit[i],和第i天之后进行一次交易的最大收益postProfit[i],最后遍历一遍,max{preProfit[i] + postProfit[i]} (0≤i≤n-1)就是最大收益。第i天之前和第i天之后进行一次的最大收益求法同Best Time to Buy and Sell Stock I。

代码: 时间O(n),空间O(n)。

public class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0;
        
        int n = prices.length;
        int[] preProfit = new int[n];
        int[] postProfit = new int[n];
        
        int curMin = prices[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            curMin = Math.min(curMin, prices[i]);
            preProfit[i] = Math.max(preProfit[i - 1], prices[i] - curMin);
        }
        
        int curMax = prices[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            curMax = Math.max(curMax, prices[i]);
            postProfit[i] = Math.max(postProfit[i + 1], curMax - prices[i]);
        }
        
        int maxProfit = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            maxProfit = Math.max(maxProfit, preProfit[i] + postProfit[i]);
        }
        
        return  maxProfit;
    }
}

Best Time to Buy and Sell Stock IV

题意: 用一个数组表示股票每天的价格,数组的第i个数表示股票在第i天的价格。最多交易k次,手上最多只能持有一支股票,求最大收益。

分析: 特殊动态规划法。传统的动态规划我们会这样想,到第i天时进行j次交易的最大收益,要么等于到第i-1天时进行j次交易的最大收益(第i天价格低于第i-1天的价格),要么等于到第i-1天时进行j-1次交易,然后第i天进行一次交易(第i天价格高于第i-1天价格时)。于是得到动规方程如下(其中diff = prices[i] – prices[i – 1]):

profit[i][j] = max(profit[i – 1][j], profit[i – 1][j – 1] + diff)

看起来很有道理,但其实不对,为什么不对呢?因为diff是第i天和第i-1天的差额收益,如果第i-1天当天本身也有交易呢,那么这两次交易就可以合为一次交易,这样profit[i – 1][j – 1] + diff实际上只进行了j-1次交易,而不是最多可以的j次,这样得到的最大收益就小了。

那么怎样计算第i天进行交易的情况的最大收益,才会避免少计算一次交易呢?我们用一个局部最优解和全局最有解表示到第i天进行j次的收益,这就是该动态规划的特殊之处。

用local[i][j]表示到达第i天时,最多进行j次交易的局部最优解;用global[i][j]表示到达第i天时,最多进行j次的全局最优解。它们二者的关系如下(其中diff = prices[i] – prices[i – 1]):

local[i][j] = max(global[i – 1][j – 1] + max(diff, 0), local[i – 1][j] + diff)
global[i][j] = max(global[i – 1][j], local[i][j])

其中的local[i – 1][j] + diff就是为了避免第i天交易和第i-1天交易合并成一次交易而少一次交易收益。 参考:http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4295761.html

代码: 时间O(n),空间O(k)。

public class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0;
        
        int days = prices.length;
        if (k >= days) return maxProfit2(prices);
        
        int[][] local = new int[days][k + 1];
        int[][] global = new int[days][k + 1];
        
        for (int i = 1; i < days ; i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i - 1];
            
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                local[i][j] = Math.max(global[i - 1][j - 1], local[i - 1][j] + diff);
                global[i][j] = Math.max(global[i - 1][j], local[i][j]);
             }
        }
        
        return global[days - 1][k];
    }
    
    
    public int maxProfit2(int[] prices) {
        int maxProfit = 0;
        
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            if (prices[i] > prices[i - 1]) {
                maxProfit += prices[i] - prices[i - 1];
            }
        }
        
        return maxProfit;
    }
}

我们知道,动规所用的二维辅助数组可以降为一维的,即只用大小为k的一维数组记录到达第i天时的局部最优解和全局最优解。需要注意的是,由于第i天时交易k次的最优解依赖于第i-1天时交易k-1次的最优解,所以数组更新应当从后往前(即从k到1)更新。

代码: 时间O(nk),空间O(k)。

public class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0;
        if (k >= prices.length) return maxProfit2(prices);
        
        int[] local = new int[k + 1];
        int[] global = new int[k + 1];
        
        for (int i = 1; i < prices.length ; i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i - 1];
            
            for (int j = k; j > 0; j--) {
                local[j] = Math.max(global[j - 1], local[j] + diff);
                global[j] = Math.max(global[j], local[j]);
            }
        }
        
        return global[k];
    }
    
    
    public int maxProfit2(int[] prices) {
        int maxProfit = 0;
        
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            if (prices[i] > prices[i - 1]) {
                maxProfit += prices[i] - prices[i - 1];
            }
        }
        
        return maxProfit;
    }
}

补充: 这道题还有一个陷阱,就是当k大于天数时,其实就退化成 Best Time to Buy and Sell Stock II 了。就不能用动规来做了,为什么?(请思考) 另外,Best Time to Buy and Sell Stock III 就是本题k=2的情况,所以说IV是II和III的综合。

(完)

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