python实现迭代法解方程
一元三次方程x^3-2x+1=0，给定误差0.0001，迭代法求解。有3个实数解，其中一个是1。
有最大迭代次数判断，以及判断迭代是否收敛的算法。
牛顿迭代法
# -*- coding= utf-8 -*-
# 一元三次方程x^3-2x+1=0，给定误差0.0001，迭代法求解。有3个实数解，其中一个是1。
# 有最大迭代次数判断，以及判断迭代是否收敛的算法。
def f(x):
# f的方程
return x**3.0 - 2.0*x + 1.0
def f_first_order(x):
# f的一阶导数
return 3.0 * x ** 2 -2.0
def get_root(x0, max_iter=50, tol = 1e-7):
# 将初始值浮点化
p0 = x0 * 1.0
for i in range(max_iter):
# f的一阶导数不能为0，最普遍的说法是不能非正定
p = p0 - f(p0)/ f_first_order(p0)
# 如果小于精度值则退出迭代
if abs(p - p0) < tol: # tol是判断迭代更新的阈值
return u'经过%s次的迭代，我们估计的参数值是%s' % (i+1, p)
p0 = p
print (u'已达到最大迭代次数， 但是仍然无法收敛')
if __name__ == '__main__':
print (get_root(2)) # 由于牛顿迭代方法是局部最优解，不同的初始值有不同的结果。初始值分别取2、0、-2梯度下降法
# -*- coding: utf-8 -*-
# 梯度下降法
def f(x):
# 忽略常数项
return x**3.0 - 2.0*x + 1.0
def f_first_order(x):
# f的方程，raw_f的一阶导数
return 3.0 * x ** 2 -2.0
def get_root(x0, max_iter=100000, tol=1e-10, step=0.001):
# 初始参数浮点化
p0 = x0 * 1.0
for i in range(max_iter):
p = p0 - step * f_first_order(p0)
# 如果小于精度值则退出迭代
if abs(f(p0) - f(p)) < tol:
return u'经过%s次的迭代，我们估计的参数值是%s' % (i+1, p)
p0 = p
print (u'已达到最大迭代次数， 但是仍然无法收敛')
if __name__ == '__main__':
print (get_root(2))哈雷迭代法
# -*- coding: utf-8 -*-
# 哈雷迭代法
def f(x):
# f的方程，raw_f的一阶导数
return x**3.0 - 2.0*x + 1.0
def f_first_order(x):
# f的一阶导数
return 3.0 * x ** 2 -2.0
def f_second_order(x):
# f的二阶导数
return 6.0 ** x
def get_root(x0, max_iter=50, tol=1e-5, step=1):
p0 = x0 * 1.0
for i in range(max_iter):
# f的一阶导数不能为0，最普遍的说法是不能非正定
discr = f_first_order(p0) ** 2 - 2 * f(p0) * f_second_order(p0)
if discr < 0:
p = p0 - step * f(p0)/ f_first_order(p0)
else:
if f_first_order(p0) >= 0:
p = p0 - step * 2 * f(p0) / (f_first_order(p0) + f_first_order(p0) * (discr ** 0.5))
else:
p = p0 - step * 2 * f(p0) / (f_first_order(p0) - f_first_order(p0) * (discr ** 0.5))
# 如果小于精度值则退出迭代
if abs(p - p0) < tol:
return u'经过%s次的迭代，我们估计的参数值是%s' % (i+1, p)
p0 = p
print (u'已达到最大迭代次数， 但是仍然无法收敛')
if __name__ == '__main__':
print (get_root(2))