AI理论随笔-对称矩阵、正交矩阵与特征向量，特征值（1）

一、对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。比如：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 2& 3& 1\\ 7& 1& 11\end{array}\right]$$
二、设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量$a$，使得$Aa=\lambda a$，则称λ是矩阵A的特征值，$a$是A属于特征值λ的特征向量。
A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为 $\lambda (A)$。
经过A的线性变换后，向量$a$仅仅做了尺度的绽放而没有做其他的变换。
三、
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的，即：$a_1,a_2为2个特征向量，则a_1{a}_2=0$。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若$\lambda$是A的特征方程的$\lambda$重根，对应的特征值$\lambda$恰有$\lambda$个线性无关的特征向量。

四、如果$A{A}^T=E$（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或$A^{T}A=E$，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵