感知机算法收敛性证明及Python代码实现
转载来自：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/87928860
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一、感知机原理
感知机是最简单的线性二分类模型，如果要处理的数据是线性可分的，则该模型能取得很好的效果，如果数据不是线性可分的，则该模型不能取得很好的效果。以二维平面为例，如果要分类的点，能被一条直线分开，直线的一侧是正类，直线的另一侧是负类，则说明数据是线性可分的。如果数据需要一个圆来分开则说明数据不是线性可分的，曾经感知机因为不能处理异或问题，而被人批判，导致神经网络的研究停滞了几十年。
1.1 感知机形式
感知机就是为了确定一条直线WX+b，让直线的一侧为正类，直线的另一侧是负类。当WX+b运算大于0时为+1，WX+b运算小于0时为-1，为此引入了sign函数。
1.2感知机学习过程
感知器的训练过程就是确定W,b，从而确定一个平面分离正类和负类。训练过程中，我们需要注意的是那些被误分类的点，比如，本来是正类，却被感知机分成了负类。下面的式子是判断该点是否被误分类：
如果WX+b>0,y为-1，则整个式子大于0，该点被误分类。如果WX+b>0,y为+1，整个式子小于0，被正确分类。
如果不考虑1/||W||，上面的式子则是感知机的损失函数。如果有N个点，则损失函数为如下：
对于给定的训练集T，求解参数W,b的过程就是求解损失函数极小值的过程。
感知器的算法是由误分类确定的，首先选取一个超平面W0,b0,采用随机梯度下降法最小化上面的式子，梯度为：
整个感知器的运算流程如下：
每当有一个点被分类错误的时候，就会更新算法。我们知道w控制的是直线的斜率，b控制的是直线的平移。对w，b进行更新就是控制直线的旋转和平移，而η控制的是旋转和平移的角度。
1.3感知机收敛性证明
上面推导的时候，少加了一个注解，现补充如下：
1.4感知机无法解决异或问题
二、感知机编码实现
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import numpy
as np
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import pandas
as pd
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import matplotlib.pyplot
as plt
-
from sklearn.datasets
import load_iris
我们用的数据集是iris数据集，这个数据集是用来给花做分类的数据集，每个样本包括了花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度四个特征，通过这四个特征来将花分为山鸢尾、变色鸢尾还是维吉尼亚鸢尾。本次我只抽取一部分数据做二分类。
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#读取iris数据集，并将数据，标签存入DataFrame中，
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iris = load_iris()
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raw_data = iris.
data
-
data = pd.DataFrame(raw_data,columns=iris.feature_names)
-
data[
'label'] = iris.target
显示data数据集如下所示：
-
data_array = np.
array(data.iloc[:
100,[
0,
1,
-1]])
-
X,Y = data_array[:,:
-1],data_array[:,
-1]
-
Y = np.
array([
1
if i ==
1
else
-1
for i
in Y]) #将标签为
0,
1，变为
-1，+
1
将data中第一列、第二列作为特征存入X中，data最后一列作为标签存入Y中。
-
plt.scatter(X[:
50,
0],X[:
50,
1],
label=
'0')
-
plt.scatter(X[
50:
100,
0],X[
50:
100,
1],
label=
'1')
-
plt.xlabel(
'sepal length')
-
plt.ylabel(
'sepal width')
-
plt.legend()
-
plt.show()
X中数据显示如下
-
#定义sign函数
-
def sign(X,W,b):
-
return np.dot(W,X) + b
-
-
#遍历数据集
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def train(X,Y,W,b,learning_rate=0.1):
-
for i
in range(len(X)):
-
if(Y[i]*sign(X[i],W,b)<=
0):
-
W = W + learning_rate*Y[i]*X[i]
-
b = b + learning_rate*Y[i]
-
-
return W,b
-
-
将数据集遍历
1000遍，每
100次打印一下W,b值
-
W = np.zeros([
1,
2])
-
b =
0
-
for i
in range(
1000):
-
W,b = train(X,Y,W,b)
-
if(i%
100==
0):
-
print(i,W,b)
-
x_ = np.linspace(
4,
7,
10)
-
y_ =-(W[
0][
0]*x_ + b)/W[
0][
1]
-
plt.plot(x_,y_)
-
plt.scatter(X[:
50,
0],X[:
50,
1],
label=
'0')
-
plt.scatter(X[
50:
100,
0],X[
50:
100,
1],
label=
'1')
-
plt.xlabel(
'sepal length')
-
plt.ylabel(
'sepal width')
-
plt.legend()
-
plt.show()
将超平面画出来，如下
