11QR分解
QR分解
- 1.定义
- 2.定理
- 3.求QR分解的办法
- 3.1Gives变换（利用Gives变换的 T x = ∣ x ∣ e 1 Tx=|x|e_1 Tx=∣x∣e1）
- 3.2Householder变换（利用 H x = ∣ x ∣ z Hx=|x|z Hx=∣x∣z）
1.定义
矩阵A可以化为正交（酉）矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即 A = Q R A=QR A=QR，则称上式为矩阵的 Q R QR QR分解
2.定理
若 A A A是一个 n n n阶非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q Q Q和上三角矩阵 R R R使得 A = Q R A=QR A=QR，且除去相差一个对角元素绝对值全为1的对角因子外，上述分解唯一。
回顾一下施密特正交化的过程
可以得到施密特正交化的矩阵为
证明：
设 A = [ a 1 , a 2 . . . a n ] A=[a_1,a_2...a_n] A=[a1,a2...an],且 a 1 , a 2 , . . . a n a_1,a_2,...a_n a1,a2,...an线性无关。应用施密特正交化的办法可以得到 [ a 1 a 2 ⋯ a n ] = [ b 1 b 2 ⋯ b n ] [ 1 b ⋯ k n 1 1 ⋯ k n 2 ⋱ ⋮ k n n − 1 ] \left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & b & \cdots & k_{n1} \\ & 1 & \cdots & k_{n2} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & k_{nn-1} \end{matrix} \right] [a1a2⋯an]=[b1b2⋯bn]⎣⎢⎢⎢⎡1b1⋯⋯⋱kn1kn2⋮knn−1⎦⎥⎥⎥⎤对其单位化可得 [ a 1 a 2 ⋯ a n ] = [ q 1 q 2 ⋯ q n ] [ ∣ b 1 ∣ ∣ b 2 ∣ ⋱ ∣ b n ∣ ] [ 1 b ⋯ k n 1 1 ⋯ k n 2 ⋱ ⋮ k n n − 1 ] = Q R \left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} q_1 & q_2 & \cdots & q_n \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} |b_1| & & & \\ & |b_2| & & \\ & & \ddots & \\ & & & |b_n| \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & b & \cdots & k_{n1} \\ & 1 & \cdots & k_{n2} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & k_{nn-1} \end{matrix} \right]=QR [a1a2⋯an]=[q1q2⋯qn]⎣⎢⎢⎡∣b1∣∣b2∣⋱∣bn∣⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡1b1⋯⋯⋱kn1kn2⋮knn−1⎦⎥⎥⎥⎤=QR接下来我们证明其唯一性：
假设有两个QR分解 A = Q R = Q 1 R 1 A=QR=Q_1R_1 A=QR=Q1R1 Q = Q 1 R 1 R − 1 = Q 1 D Q=Q_1R_1R^{-1}=Q_1D Q=Q1R1R−1=Q1D因为 R 1 , R R_1,R R1,R都为上三角矩阵，而上三角矩阵的逆为上三角矩阵，上三角矩阵成上三角矩阵还是上三角矩阵因此 D D D是上三角矩阵。又 I = Q H Q = D H Q 1 H Q 1 D = D H D I=Q^HQ=D^HQ_1^HQ_1D=D^HD I=QHQ=DHQ1HQ1D=DHD所以 D D D是酉矩阵。所以， D D D只能是对角元素绝对值全为1的对角阵
3.求QR分解的办法
3.1Gives变换（利用Gives变换的 T x = ∣ x ∣ e 1 Tx=|x|e_1 Tx=∣x∣e1）
例题：利用 G i v e n s 变 换 Givens变换 Givens变换求 A = [ 2 2 1 0 2 2 2 1 2 ] A=\left[ \begin{matrix} 2 & 2& 1 \\ 0 & 2& 2\\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right] A=⎣⎡202221122⎦⎤的 Q R 分 解 QR分解 QR分解（正交矩阵的转置就是其逆）
解：首先对第一列进行Givens变换，有 T 13 = [ c 0 s 0 1 0 − s 0 c ] , c = a 11 a 11 2 + a 31 2 = 2 2 2 = 1 2 , s = a 31 a 11 2 + a 31 2 = 1 2 T_{13}=\left[ \begin{matrix} c & 0& s \\ 0 & 1& 0\\ -s & 0 & c \end{matrix} \right] ,c=\frac{a_{11}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{31}^2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},s=\frac{a_{31}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{31}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} T13=⎣⎡c0−s010s0c⎦⎤,c=a112+a312a11=222=21,s=a112+a312a31=21所以可得 T 1 = [ 1 2 0 1 2 0 1 0 − 1 2 0 1 2 ] , T 1 A = [ 2 2 3 2 3 2 0 2 2 0 − 1 2 1 2 ] , A ( 1 ) = [ 2 2 − 1 2 1 2 ] T_1=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right] ,T_1A=\left[ \begin{matrix} 2\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & 2& 2\\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right],A^{(1)}=\left[ \begin{matrix} 2& 2\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right] T1=⎣⎡210−2101021021⎦⎤,T1A=⎣⎢⎡2200232−2123221⎦⎥⎤,A(1)=[2−21221]对 A ( 1 ) A^{(1)} A(1)再进行Givens变换，可以得到 T 12 = [ c s − s c ] , c = 2 2 3 , s = − 1 3 T_{12}=\left[ \begin{matrix} c & s \\ -s & c \end{matrix} \right],c=\frac{2\sqrt{2}}{3},s=-\frac{1}{3} T12=[c−ssc],c=322,s=−31所以可得 T 2 = [ 2 2 3 − 1 3 1 3 2 2 3 ] , T 2 A ( 1 ) = [ 2 2 3 7 2 6 0 4 3 ] , T2=\left[ \begin{matrix} \frac{2\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{matrix} \right],T_2A^{(1)}=\left[ \begin{matrix} \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6} \\ 0 & \frac{4}{3} \end{matrix} \right], T2=[32231−31322],T2A(1)=[322067234],综上可得， R = [ 2 2 3 2 3 2 0 2 2 3 7 2 6 0 0 4 3 ] , Q = [ [ 1 0 0 T 2 ] T 1 ] T = [ 1 2 1 3 2 − 2 3 0 2 2 3 7 2 6 1 2 − 1 3 2 2 3 ] R=\left[ \begin{matrix} 2\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6}\\ 0 & 0 & \frac{4}{3} \end{matrix} \right],Q=\left[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0& T2 \end{matrix} \right]T_1\right]^T=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}&-\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}}& \frac{2}{3} \end{matrix} \right] R=⎣⎢⎡22002332202367234⎦⎥⎤,Q=[[100T2]T1]T=⎣⎢⎡21021321322−321−3267232⎦⎥⎤
3.2Householder变换（利用 H x = ∣ x ∣ z Hx=|x|z Hx=∣x∣z）
将 z z z矩阵设为e矩阵，u= x − ∣ x ∣ z ∣ x − ∣ x ∣ z ∣ \frac{x-|x|z}{|x-|x|z|} ∣x−∣x∣z∣x−∣x∣z
利用Householder求 A = [ 0 4 1 1 1 1 0 3 2 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 4& 1 \\ 1 & 1& 1\\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right] A=⎣⎡010413112⎦⎤的 Q R QR QR分解
解：首先对第一列使用Householder变换，可以得到 H = I − 2 u u T , ∣ x − ∣ x ∣ e 1 ∣ = 2 , x − ∣ x ∣ e 1 = [ − 1 1 0 ] , u = 1 2 [ − 1 1 0 ] H=I-2uu^T,|x-|x|e_1|=\sqrt{2},x-|x|e_1=\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],u=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] H=I−2uuT,∣x−∣x∣e1∣=2,x−∣x∣e1=⎣⎡−110⎦⎤,u=21⎣⎡−110⎦⎤ 2 u u T = 1 2 [ − 1 1 0 ] 1 2 [ − 1 1 0 ] = 1 2 [ 1 − 1 0 − 1 1 0 0 0 0 ] 2uu^T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1 &1 & 0 \end{matrix} \right]=\frac{1}{2}\left[ \begin{matrix} 1&-1&0\\ -1&1&0 \\ 0&0&0 \end{matrix} \right] 2uuT=21⎣⎡−110⎦⎤21[−110]=21⎣⎡1−10−110000⎦⎤ I − 2 u u T = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = H , H A = [ 1 1 1 0 4 1 0 3 2 ] I-2uu^T=\left[ \begin{matrix} 0&1&0\\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]=H,HA=\left[ \begin{matrix} 1&1&1\\ 0&4&1 \\ 0&3&2 \end{matrix} \right] I−2uuT=⎣⎡010100001⎦⎤=H,HA=⎣⎡100143112⎦⎤继续做下去，可以得到
