图论：平面图的对偶图

平面图我们离散课上讲过，在二维空间中可以写成不交叉边的图就是平面图，最小的非平面图有K5和K（3,3）

每个平面图都对应一个对偶图，对偶图中的最小环就是原图的最小割

如果删去对偶图中s-t这条边，就是相当于求最短路了

把原图中每个点在对偶图中标号，重新建图，在新图中跑最短路就行了

然后看一下平面图和对偶图之间的转化：

对偶图中的每一个点即为平面图中的某一个面，对偶图中任意两点间的线都是平面图中对应两平面公共边的割线，如果平面图中某一条边只属于一个面，那么在对偶图中就是一个环边

对偶图的边数等于平面图的边数，对偶图的点数等于平面图的面数

 

针对BZOJ1001

①把每一个图中的面积块当作新的点。
②每一条边都与两个面相连，把面看作点后，这条边连接这两个面化作的点，权值不变。
③连接起点与终点，把外面的最大平面分成两份，分别为最短路的起点与终点。
④跑一边最短路即可。

我感觉难在建图上，别的都非常好说

建图必须好好研究一下

 1 #include
 2 #include
 3 const int maxn=2000005;
 4 int n,m,nm,cnt;
 5 bool vi[maxn];
 6 int dis[maxn],g[maxn],q[maxn];
 7 struct Edge
 8 {
 9     int t,next,w;
10 }e[4*maxn];
11 void insert(int u,int v,int w)
12 {
13     cnt++;e[cnt].t=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;
14     cnt++;e[cnt].t=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;
15 }
16 void spfa()
17 {
18     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
19     dis[0]=0;
20     int h=0,t=1;
21     q[t]=0;
22     vi[0]=1;
23     while(h!=t)
24     {
25         h=h%maxn+1;
26         int u=q[h];
27         vi[u]=0;
28         for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)
29         {
30             int v=e[tmp].t;
31             if(dis[v]>dis[u]+e[tmp].w)
32             {
33                 dis[v]=dis[u]+e[tmp].w;
34                 if(!vi[v])
35                 {
36                     t=t%maxn+1;
37                     vi[v]=1;
38                     q[t]=v;
39                 }
40             }
41         }
42     }
43 }
44 int main()
45 {
46     scanf("%d%d",&n,&m);
47     nm=(n*m-m-n+1)<<1;
48     int x;
49     for(int j=1;j)
50     {
51         scanf("%d",&x);
52         insert(j,nm+1,x);
53     }
54     for(int i=1;i1;i++)
55     {
56         for(int j=1;j)
57         {
58             scanf("%d",&x);
59             insert((i<<1)*(m-1)+j,((i<<1)-1)*(m-1)+j,x);
60         }
61     }
62     for(int j=1;j)
63     {
64         scanf("%d",&x);
65         insert(0,((n<<1)-3)*(m-1)+j,x);
66     }
67     for(int i=0;i1;i++)
68     {
69         for(int j=1;j<=m;j++)
70         {
71             scanf("%d",&x);
72             if(j==1) insert(0,(i<<1)*(m-1)+m,x);
73             else if(j==m) insert((i<<1|1)*(m-1),nm+1,x);
74             else insert((i<<1)*(m-1)+j-1,(i<<1)*(m-1)+j+m-1,x);
75         }
76     }
77     for(int i=0;i1;i++)
78     {
79         for(int j=1;j)
80         {
81             scanf("%d",&x);
82             insert((i<<1|1)*(m-1)+j,(i<<1)*(m-1)+j,x);
83         }
84     }
85     spfa();
86     printf("%d",dis[nm+1]);
87     return 0;
88 } 

 

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