【学习笔记】fwt&&fmt&&子集卷积

• 前言：yyb神仙的博客

FWT

基本思路：将多项式变成点值表达，点值相乘之后再逆变换回来得到特定形式的卷积；

多项式的次数界都为\(2^n\)的形式，\(A_0\)定义为前一半多项式(下标二进制第一位为\(0\))，\(A_1\)同理定义；

\((A,B)\)表示多项式\(A\)和\(B\)的直接拼接,FWT的结果都是一个点值表达，相乘表示点值相乘；

下面这些变换都满足线性，记\(n\)为二进制位数，复杂度：\(O(n\times 2^n)\)；

or卷积

• 形式：
  \[ (A|B)_{k} = \sum_{i|j=k}A_i\times B_j \]

• 定义变换：
  \[ FWT(A) = (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1)) \]

  则：\(FWT(A|B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

• 注意到\(A|B=(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\) ;
  \[ \begin{align} &FWT(A|B)\\ &=FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\ &=(FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\\ &=(FWT(A_0)\times FWT(B_0),FWT(A_0)\times FWT(B_0)+FWT(A_0) \\ &\times FWT(B_1)+FWT(A_1)\times FWT(B_0)+FWT(A_1)\times FWT(B_1))\\ &=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))\times(FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\\ &=FWT(A)\times FWT(B) \end{align} \]

• 逆变换：
  \[ IFWT(A) = (IFWT(A_0),IFWT(A_1-A_0)) \]

• 代码：

void fwt(int*A,int F){
    for(int i=1;i

and卷积

• 形式：
  \[ (A\&B)_{k} = \sum_{i\&j=k}A_i\times B_j \]

• 定义变换：
  \[ FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)) \]

  则：\(FWT(A\&B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

  注意到：\(A\&B=(A_0\&B_0+A_0\&B_1+A_1\&B_0,A_1\&B_1)\)

  同理．．

• 逆变换：
  \[ IFWT(A)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1)) \]

• 代码

  void fwt(int*A,int F){
        for(int i=1;i

xor卷积

• 形式
  \[ (A \oplus B)_{k} = \sum_{i \oplus j=k}A_i\times B_j \]

• 定义变换：
  \[ FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1)) \]

  则：\(FWT(A \oplus B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

  注意到：\(A \oplus B=(A_0 \oplus B_0+A_1\oplus B_1 ,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)\)

  同理．．

• 逆变换：
  \[ IFWT(A)=(IFWT(A_0+A_1)/2,IFWT(A_0-A_1)/2) \]

• 代码：

  void fwt(int*A,int F){
        for(int i=1;i

FMT

基本思路：将二进制的每一位看成一维，枚举每一维做前缀和就可以得到集合的前缀和；

直接上代码了．．．．．．

子集前缀和(= or)

for(int i=0;i>i&1)f[j]+=f[j^(1<

超集前缀和(= and)

for(int i=0;i=1<>i&1)f[j^(1<

fmt的逆变换只需要将第二维反过来减即可；

优点是代码短，常数小，复杂度也是\(O(n \times 2^n)\)

子集卷积和

• \(S,T\)是集合，求\(C:C_S = \sum_{S \subset T} A_T \times B_{S-T}\) 　

• 设\(A_{i,S}=[|S|=i]\times A_S\)

• 令\(C_i = \sum_{j\le i} A_{j}|B_{i-j}\)

• 这样就把问题变成了or卷积

• 由于我们只关心满足\(|T|=i\)的\(C_{i,T}\)，所以是不会多算的；

• 时间复杂度:\(O(n^2 \times 2^n)\)

• 【WC2018】州区划分

  #include
  #define ll long long 
  #define mod 998244353
  #define rg register 
  #define il inline 
  using namespace std;
  const int N=22;
  int n,m,p,f[N][1<=mod)x-=mod;}
  il void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  il void fwt(int*A,int F){
    if(~F){
        for(rg int i=0;i>i&1)
    for(int j=i+1;j>j&1){
        if(!(e[i]>>j&1))continue;
        d[i]++,d[j]++;
        int fu=find(i),fv=find(j);
        if(fu!=fv)fa[fu]=fv;
    }
    int lst=-1;
    for(rg int i=0;i>i&1){
        if(!~lst)lst=find(i);
        if(lst!=find(i) || (d[i]&1))return true;
    }
    return false;
  }
  il int val(int x){
    if(!p)return 1;
    if(p&1)return x;
    return (ll)x*x%mod;
  }
  int main(){
  //    freopen("walk.in","r",stdin);
  //    freopen("walk.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);all=1<>1]+(i&1);
    }
    for(rg int i=0;i

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