扩展欧几里得算法(推导，逆元）

欧几里得算法

欧几里得算法又称为辗转相除法，是为了计算两个数的最大公约数。

定理：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)(a>b)$

证明：假设$a>b$，a 可以表示为$a=k\ast b+r$，则$r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
1.对于充分性，假设 d 是 a，b的一个公约数，即$d=gcd(a,b)$，则有$a\mid d,b\mid d$，（a和b都能被d整除），而$r=a-k\ast b$，因此$r\mid d$。即$d=gcd(b,r)$
2.对于必要性：假设d是$gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$的公约数，即$b\mid d,r\mid d$，同样，因为$a=k\ast b+r$，则：$a\mid d$，即$d=gcd(a,b)$
由上可知，$gcd(a,b)$ 与 $gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$的公约数相等，则其最大公约数也相等。

辗转相除到最后，$gcd(x,0)=x$。
代码：

int gcd(int a, int b)
{
　　if(b == 0)
　　        return a;
    return  gcd(b, a % b);
}

int gcd(int a,int b)
{
    int r;
    while(b!=0)
    {
        r=a%b;//当a
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： $ax+by=gcd(a,b)=d$（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

解 x，y的方法：

1. 显然当 $b=0，gcd（a，b）=a$。此时 $x=1，y=0$；
   也就是$1\ast a+0\ast b=a$

2. 设 $ax1+by1=gcd(a,b)$;
   在下一个exgcd里 $bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)$;
   根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
   则:$ax1+by1=bx2+(amodb)y2$;
   即:$ax1+by1=bx2+(a-(a/b)\ast b)y2=ay2+bx2-(a/b)\ast by2$;
   根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
   这样我们就得到解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。

   怎样求出最小整数解x呢？
   $ax+by=c$其实就等价于$ax\equiv c(modb)$，当存在一个特解$x1$使得$ax1+by1=c$。那么$x1$加上若干倍$b$还是这个方程的解，即$x=x1+k\ast b$仍为方程的解。此时：$y=y1-k\ast a$.因而方程在$[0,b-1]$上一定有整数解（假如小于0，你加上若干倍b啊，就可以让它保持在$0$ ~ $b-1$中；如果大于b-1，你减去若干倍b啊，它也保持0~b-1）。(即$x=(x\%t+t)\%t$)
   代码：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);	//int r = exgcd(b, a % b, y, x);
    int t = x;						//y -= x*(a/b);
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return r;
}

扩展欧几里得求逆元

若$mx\equiv 1modn$, 则称m关于1模n的乘法逆元为x。也可表示为mx≡1(mod n)。逆元相当于数论中的倒数。
条件：只有当$gcd(m,n)=1$，m才有关于模n的逆元。

1. 利用费马小定理$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，$a^{p-2}$即为a关于模p的逆元，但只能求出p为素数的情况下的乘法逆元。
2. 采用扩展欧几里德算法来计算普遍情况下的乘法逆元的情况。
   由$mx\equiv 1modn$，可以推出$mx-kn=1$，与$ax+by=gcd(a,b)=1$，相比较即可得出，令$a=m,b=n$，所求出x即为逆元，加上$x=(x\%t+t)\%t$即为最小逆元。

例题：51nod1256 求m关于模n最小逆元

#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e6 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= x * (a / b);
    return r;
}
int main()
{
    ll m, n;
    cin >> m >> n;
    ll a, b, x, y;
    a = m;
    b = n;
    ll gcd = exgcd(a, b, x, y);
    cout << (x % b + b) % b << endl;
    return 0;
}