类欧几里得算法

详见dalao的《洪华敦-类欧几里得算法》
这个算法的来源，可以形象化的理解为欧几里得算法的几何意义。
图详见上面的PPT。
对于一个平面，每个整点有一个价值，
如果需要求一条直线与坐标轴围成的部分的整点价值和，
设这条直线为$y=ax+b$，那么可以通过PPT中的方法不断更换坐标轴递归求解。
推式子很烦。
但还是要推。

1.求$F(a,b,c,n)={\sum }_{i=0}^n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$
$F(a,b,c,n)={\sum }_{i=0}^n\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)i+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor +i\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +\lfloor \frac{b}{c}\rfloor$
设$\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)n+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor =M$
$S_n^k={\sum }_{i=0}^n{i}^k$
$$\begin{gathered} F(a,b,c,n)=S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +\sum _{i=0}^n\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)i+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[j<\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)i+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor ] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^{n}1-[j>=\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)i+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor ] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[j+1>\lfloor \frac{(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)i+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)}{c}\rfloor ] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[i(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)<(j+1)c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[i(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)<=(j+1)c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)-1] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[i<=\lfloor \frac{(j+1)c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)-1}{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c}\rfloor ] \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-\sum _{j=0}^{M-1}\sum _{i=0}^n[i<=\lfloor \frac{jc+c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)-1}{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c}\rfloor \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +(n+1)M-F(c,c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)-1,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c,M-1)-M \\ =S_n^1\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +S_n^0\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +nM-F(c,c-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)-1,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c,M-1) \end{gathered}$$

高斯函数与整数大于小于号化简技巧：
$x<a$即$x+1<=a$
$ab<x$即$a<\lceil \frac{x}{b}\rceil$很明显这对于我们下取整更加流行的趋势不利，所以可以这样
$ab<=x$即$a<=\lfloor \frac{x}{b}\rfloor$
$ab<x$即$a<=\lfloor \frac{x-1}{b}\rfloor$
这样也比较好反着推回去。

整除函数推式子，和数论函数推式子差不多恶心吧，
杜教洲阁，欧几里得。

例题：
求${\sum }_{k=0}^n((km)andm)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1e9+7)$
其中$and$为按位与,$m<=1e11,n<=1e18$

按位计算，求有多少个$k$使得$(km)andm$在第$i$位为1.
那么这个可以转化为等差数列除$2^i$之和，
就是经典的类欧几里得算法了。

AC Code:

#include
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
 
int F(LL a,LL b,LL c,LL n){
    int N = n % mod;
    LL m = ((__int128)(a % c) * n + (b % c)) / c;
    LL ret = (1ll * N * (N+1) / 2 % mod * (a / c % mod) + 1ll * (N+1) * (b / c % mod)) % mod;
    if(a % c == 0) return ret;
    return (ret + 1ll * N * (m % mod) - F(c,c-(b%c)-1,a%c,m-1)) % mod;
}
 
LL n,m;
 
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<=60;i++)
        if(m>>i&1){
            int c = (F(m,0,1ll<<i,n) - 2ll * F(m,0,2ll<<i,n)) % mod;
            ans = (ans + 1ll * c * ((1ll<<i) % mod)) % mod;
        }
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}