(扩展)欧几里得算法

先给一题算模板题吧

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题意:两只青蛙a,b位于一个类似钟表周长为L圆上,精分了好多个等距的点,确定一个原点,然后都向顺时针去约会的故事。

其中a青蛙的位置在x,速度为m,b青蛙的位置在y,速度为n,圆的周长为L。

分析:相遇问题。即(x+m*t)-(y+nt)=k*L   (其中k为一个整数)整理的  (n-m)*t + k*L = (x-y)。这一看,不就是那啥?扩展欧几里得不等式吗--ax+by=c。所以能,套公式吧,然后就得到了答案。

#include
using namespace std;
#define ll long long
ll t,k;
ll exgcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
	{
		t=1;
		k=0;
		return a;
	}
	ll c=exgcd(b,a%b);
	ll tt=k;
	k=t-(a/b)*k;
	t=tt;
	return c;
}
int main()
{
	ll x,y,m,n,l;
	while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
	{
		ll a=n-m,b=l,c=x-y;//此处的扩展欧几里得公式为:at+bk=c
		ll g=exgcd(a,b);
		if(c%g)
		{
			cout<<"Impossible"<

现在开始讲解——扩展欧几里得算法

https://blog.csdn.net/yoer77/article/details/69568676

讲完了,谢谢大家支持!

 

不懂什么是欧几里得算法的可以看一下这个,算了。当我没说,反正上面那个链接啥都有。

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数 gcd(a,b)。基本算法:设 a = qb + r,其中a,b,q,r都是整数,则 gcd(a,b) = gcd(b,r),即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。

证明: 
a = qb + r 
如果 r = 0,那么 a 是 b 的倍数,此时显然 b 是 a 和 b 的最大公约数。 
如果 r ≠ 0,任何整除 a 和 b 的数必定整除 a - qb = r,而且任何同时整除 b 和 r 的数必定整除 qb + r = a,所以 a 和 b 的公约数集合与 b 和r 的公约数集合是相同的。特别的,a 和 b 的最大公约数是相同的。

递归实现:

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

非递归实现:

int gcd(int a, int b)
{
    while(b)
    {
        int t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

另外还有这个关系:由于a和b互质,那么b*t+a 也与b互质;a和b不互质,那么b*t+a 也与b不互质。

即:gcd(b×t+a,b)=gcd(a,b)  (t为任意整数)。

 

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