近世代数理论基础14：同构定理

同构定理

同态的基本性质

设是同态映射,,令为S在映射f下的像集,对,令为集合的原像

引理：设是满同态,则有

1.

2.

3.

4.

证明：

第一同构定理

定理：设是满同态,记,定义两个集合,,则

1.存在一一映射(双射)

2.若且,则,且

证明：

注：第一同构定理的常用形式：若取,且,则

第二同构定理

定理：设G是群,H,K是G的子群,且,则

1.

2.

3.

4.

证明：

例：

1.设为正整数,决定群的所有子群

2.设为n次对称群,若G为的子群,证明G中所含置换或全是偶置换或奇偶置换各半

证：