【原创】欧几里得算法与拓展欧几里得算法的证明及其应用(不定方程、逆元)

一、欧几里得算法:

欧几里得算法,也就是数学中的辗转相除法,可以求出两数的最大公因数。

辗转相除法的原理是这样的gcd(a,b)=gcd(b,a%b),

①证明:

第一种证明如下:

设a%b=r;

则a可以表示为a=b*k+r。

对于a,b的任何公因数d有:

d | a 且 d | b;

又∵r=b*k-a;

∴d | r;

∴d也是b,r的公因数

同理,对于b,r的任何公因数f,也有:

f为a,b的公因数

对于a,b和b,r,它们的所有公因数都是一样的

其中,最大公因数也是一样的

∴gcd(a,b)=gcd(b,r)

Q.E.D

第二种证明:

有一个小结论:gcd(a,b)=gcd(a+k*b,b),这个结论的证明较为简单,请读者自己推导。


②算法:

ⅰ)递归:

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}


ⅱ)迭代形式(两者没有本质的区别)

int gcd(int a,int b)
{
	int r;
	while(b!=0)
		r=b,b=a%b,a=r;
	return a;
}


二、贝祖(裴蜀)定理:

对于任意整数a,b,一定存在整数x、y,使得a*x+b*y=gcd(a,b);

也就是说,如果a,b互质,就一定存在整数x,y满足a*x+b*y=1


三、拓展欧几里得算法:

①背景:

如果给定贝祖定理中互质的a,b,如何算出x,y呢?

令a>=b;

1.当b=0时:有x=1,y=0。

2.当b≠0时:

设有a*x+b*y=gcd(a,b);

b*x1+(a%b)*y1=gcd(b,a%b);

根据欧几里德原理有:

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

∴a*x+b*y=b*x1+(a%b)*y1

∴a*x+b*y=b*x1+(a-(a/b)*b)*y1

∴a*x+b*y=a*y1+b*x1-(a/b)*b*y1

根据多项式恒等定理有:

x=y1 且 y=x1-(a/b)*y1

因此,我们得到了x,y的递归式。

②程序实现:

int cd;//cd即为gcd(a,b)
int gcd(int a,int b,int &cd,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0,cd=a;
		return ;
	}
	gcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return ;
}


四、拓展欧几里得算法的应用:

①解不定方程:

对于一个整数不定方程:a*x+b*y=c,如果gcd(a,b) | c,则一定有解。

证明:

∵a|gcd(a,b) , b|gcd(a,b)

∴gcd(a,b) |a*x+b*y

如果方程成立,则c=a*x+b*y,

∴gcd(a,b) | c

否则方程不成立

如果gcd(a,b) | c,我们怎么用拓展欧几里得算法算出x和y呢?

设p=a/gcd(a,b),q=b/gcd(a,b),r=c/gcd(a,b)。

求出a*x1+b*y1=gcd(a,b)的x1,y1即可,可得x=x1*r,y=y1*r。

对上面新方程进行变形:

a*x1+b*y1=gcd(b,a%b)=b*x2+(a%b)*y2

为了向拓展欧几里得算法靠近,设m=a/b,n=a%b

∴a=m*b+n , n=m*b-a

带入上式,得a*x1+b*y1 = b*x2+(a-(a/b))*y2 = a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)

根据多项式恒等定理:

x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2

这也正是拓展欧几里得算法中,x,y的变化规律。


继续解不定方程,我们现在已经知道了x,y的一组解(x1*r,y1*r),如何求出其他所有解?


设x1*r=x0,y1*r=y0;

我们已经解出了一组特解:x0,y0,根据通解公式:

x=x0-(b/gcd(a,b))*k,

y=y0+(a/gcd(a,b))*k;(k∈Z)

不定方程就解出来了。


②求逆元


逆元的定义:

背景:

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

(a-b)%c=(a%c-b%c)%c

a*b%c=(a%c*b%c)%c

那么除法呢?

我们知道,一个数除以一个分数等于乘上它的倒数,那么对于模运算呢?

因此,我们规定,如果a*x≡1(mod b),则称x为a的逆元,记为a^(-1)。

则根据定义,(a/b)%c=(a*b^(-1))%c。


那么怎么求逆元呢?事实上,用拓展欧几里得算法算出的x即为a关于b的逆元,具体证明在这里略去。(因为我也不会证,哈哈)











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