【原创】欧几里得算法与拓展欧几里得算法的证明及其应用（不定方程、逆元）

一、欧几里得算法：

欧几里得算法，也就是数学中的辗转相除法，可以求出两数的最大公因数。

辗转相除法的原理是这样的gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，

①证明：

第一种证明如下：

设a%b=r；

则a可以表示为a=b*k+r。

对于a，b的任何公因数d有：

d | a 且 d | b；

又∵r=b*k-a；

∴d | r；

∴d也是b，r的公因数

同理，对于b，r的任何公因数f，也有：

f为a，b的公因数

对于a，b和b，r，它们的所有公因数都是一样的

其中，最大公因数也是一样的

∴gcd(a,b)=gcd(b,r)

Q.E.D

第二种证明：

有一个小结论：gcd(a,b)=gcd(a+k*b,b)，这个结论的证明较为简单，请读者自己推导。

②算法：

ⅰ）递归：

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

ⅱ）迭代形式（两者没有本质的区别）

int gcd(int a,int b)
{
	int r;
	while(b!=0)
		r=b,b=a%b,a=r;
	return a;
}

二、贝祖（裴蜀）定理：

对于任意整数a，b，一定存在整数x、y，使得a*x+b*y=gcd(a,b)；

也就是说，如果a，b互质，就一定存在整数x，y满足a*x+b*y=1

三、拓展欧几里得算法：

①背景：

如果给定贝祖定理中互质的a，b，如何算出x，y呢？

令a>=b；

1.当b=0时：有x=1，y=0。

2.当b≠0时：

设有a*x+b*y=gcd(a,b);

b*x1+(a%b)*y1=gcd(b,a%b);

根据欧几里德原理有：

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

∴a*x+b*y=b*x1+(a%b)*y1

∴a*x+b*y=b*x1+(a-(a/b)*b)*y1

∴a*x+b*y=a*y1+b*x1-(a/b)*b*y1

根据多项式恒等定理有：

x=y1 且 y=x1-(a/b)*y1

因此，我们得到了x，y的递归式。

②程序实现：

int cd;//cd即为gcd(a,b)
int gcd(int a,int b,int &cd,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0,cd=a;
		return ;
	}
	gcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return ;
}

四、拓展欧几里得算法的应用：

①解不定方程：

对于一个整数不定方程：a*x+b*y=c，如果gcd(a,b) | c，则一定有解。

证明：

∵a|gcd(a,b) , b|gcd(a,b)

∴gcd(a,b) |a*x+b*y；

如果方程成立，则c=a*x+b*y，

∴gcd(a,b) | c

否则方程不成立

如果gcd(a,b) | c，我们怎么用拓展欧几里得算法算出x和y呢？

设p=a/gcd(a,b)，q=b/gcd(a,b)，r=c/gcd(a,b)。

求出a*x1+b*y1=gcd(a,b)的x1,y1即可，可得x=x1*r,y=y1*r。

对上面新方程进行变形：

a*x1+b*y1=gcd(b,a%b)=b*x2+(a%b)*y2

为了向拓展欧几里得算法靠近，设m=a/b,n=a%b

∴a=m*b+n , n=m*b-a

带入上式，得a*x1+b*y1 = b*x2+(a-(a/b))*y2 = a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)

根据多项式恒等定理：

x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2

这也正是拓展欧几里得算法中，x,y的变化规律。

继续解不定方程，我们现在已经知道了x,y的一组解(x1*r,y1*r)，如何求出其他所有解？

设x1*r=x0,y1*r=y0;

我们已经解出了一组特解：x0,y0，根据通解公式：

x=x0-(b/gcd(a,b))*k,

y=y0+(a/gcd(a,b))*k;(k∈Z)

不定方程就解出来了。

②求逆元

逆元的定义：

背景：

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

(a-b)%c=(a%c-b%c)%c

a*b%c=(a%c*b%c)%c

那么除法呢？

我们知道，一个数除以一个分数等于乘上它的倒数，那么对于模运算呢？

因此，我们规定，如果a*x≡1(mod b)，则称x为a的逆元，记为a^(-1)。

则根据定义，(a/b)%c=(a*b^(-1))%c。

那么怎么求逆元呢？事实上，用拓展欧几里得算法算出的x即为a关于b的逆元，具体证明在这里略去。（因为我也不会证，哈哈）