二分查找算法细节详解

Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）曾说:

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward,
the details can be surprisingly tricky...

这句话可以这样理解：思路很简单，细节是魔鬼。

最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界

二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = (right + left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。
计算 mid 时需要技巧防止溢出，即 mid=left+(right-left)/2

①寻找一个数（基本的二分搜索）

搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1（数组已排序）

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
        }
    return -1;
}

1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？
因为初始化 right的赋值是 nums.length-1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者nums.length-1相当于两端都闭区间[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)，因为索引大小为 nums.length是越界的。
我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为搜索区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？
搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到。

• while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

• while(left < right)的终止条件是left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去[2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2]被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回-1 就是错误的。

你非要用 while(left < right)也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

• 答:刚才明确了搜索区间这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target时，如何确定下一步的搜索区间呢？
  当然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3. 此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说，找到一个target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

②寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意
    
    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答：用相同的方法分析，因为right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是[left, right)左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left)为空，所以可以正确终止。

2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：
nums中小于 2 的元素有 1 个。因为是有序排列
比如

• 对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
  再比如
• 对nums不变，target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4个。

综上可以看出
函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候return -1

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

3. 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是[left, right)左闭右开，所以当 nums[mid]被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid分割成两个区间，即 [left, mid)或[mid + 1, right)。
4.为什么该算法能够搜索左侧边界？

关键在于对于nums[mid] == target这种情况的处理：

if (nums[mid] == target)
        right = mid;

找到 target时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界right，在区间 [left, mid)中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

4.为什么返回 left 而不是 right？
都是一样的，因为while 终止的条件是 left == right。

③寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？
关键点还是这里

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界left（即缩小左边界让他向右靠拢，left值越大，越向右靠拢），使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的
2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
首先，while循环的终止条件是 left == right，所以 left和right是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1

因为我们对 left的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时， nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1]可能是 target

3.为什么没有返回 −1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
类似之前的左侧边界搜索，因为 while的终止条件是left == right，就是说left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 −1：

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

④最后总结

第一个，最基本的二分查找算法

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要缩小右侧边界 right = mid;以锁定左侧边界

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界（要增大left）时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

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