欧拉函数的性质

定理0：对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

定理一：设m与n是互素的正整数，那么

 

定理二：当n为奇数时，有。

因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。

 

定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么=（p-1)*P^(a-1);

关于这个定理的证明用到容斥：

由于表示小于与互素数的正整数个数，所以用减去与它不互素的数的个数就行了。

那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数，有个。所以定理得证。

 

 

定理四：设为正整数n的素数幂分解，那么

这个定理可以根据定理一和定理三证明，其实用到的就是容斥。

 

 

定理五：设n是一个正整数，那么

这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。

 

定理六：设m是正整数，(a,m)=1，则：是同于方程的解。

 

定理七：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数。

定理把：小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。

来自苟神ACdreamer

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