正则表达式表示实数

基本介绍

$1.$任意实数都可以表示为小数的形式：对于有限小数，在其末尾增加无限个$0$，将所有的实数都统一为无限小数。因此实数的表示即为无限小数的表示。

$2.$考虑$\forall x\ge 0$，一定可以划分为整数部分$\lfloor x\rfloor$，以及小数部分$x-\lfloor x\rfloor$，整数部分显然，小数部分可以表示为${\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i{p}^{-i}$，即对于前缀$a_1,a_1{a}_2,....,a_1...a_j$有以下表示$a_1/p,(a_{1}p+a_2)/p^2,....,(a_1{p}^{j-1}+...+a_j)/p^j$。
分子部分是$p$进制下$a_1...a_j$的数值。
分母部分是正则表示式中$\{1,...,p-1\}\{0,...,p-1{\}}^{\ast }\cup \{\epsilon \}$中长度至多为$j$的单词数量之和（$(p-1){\sum }_{i=0}^{j-1}{p}^i+1=p^j)$

$3$.通过刚才的方法可以表示出$[\frac{1}{p},1]$，为了得到$\forall x\in [0,1]$，可以通过对$x$乘一个$p^k$使得$p^{k}x\in [\frac{1}{p},1]$，对于指数$k$很容易保存，这样就表示出了$x\in [\frac{1}{p^{k+1}},\frac{1}{p^k}]$，这里$x$可以用和$[\frac{1}{p},1]$同样的方法处理，只是多了$k$个前导零。因此我们需要关心的只有$[\frac{1}{p},1]$这一部分的实数了。

$4.$另外对于$x\in [\frac{1}{p},1]$，有可能存在超过一种表示。实际上在实数中，$1.999...$与$2.000...$都表示$\frac{2}{10}$，而在这里考虑的是$[\frac{r}{p^n},\frac{r+1}{p^n}]$这样的区间。如果数$x$在区间的端点上，那么它将会有两种不同的表示，否则就有唯一的表示。

前置知识：

1.语言和自动机
$\sum$：有限字符集
${\sum }^{\ast }$： 克林闭包
${\sum }^{+}$：正闭包
$|w|$： 字符串$w$的长度
$\#Q$： 有限集合$Q$的基数
$DFA$：被$\sum$标记的一个有向图$(K,s,F,\sum ,\delta )$，$K$代表状态的有限集合，$s\in K$是一个初始状态，$F\subseteq K$是终止状态的集合，$\delta ：K\times \sum \to K$是转移函数
$识别$：如果一个单词可以从初态出发不断转移最终到达终态，那么这个单词就被识别出来。
$语言$：克林闭包的一个子集
$正则语言$：如果一个语言中的单词都能够被识别出来，那么该语言被称为正则语言。
$L_k$：$\{x\in {\sum }^{\ast },\delta (k,x)\in F\}$，而一般所说的$L$就是$L_s$

2.整数的表示
基数序：基数序是用来比较两个单词的大小，对于两个单词$x$和$y$，如果（$|x|<|y|）$或者（$|x|=|y|$并且存在某个单词$\delta \le \tau$,且有$x=w\delta x^{{}^{\prime }},y=w\tau y^{{}^{\prime }}$)，我们就认为$x\le y$。
代数系统：代数系统定义为一个三元组$(L,\sum ,<)$，$L$是一个无限长度的正则表达式，这个代数系统用以实现$N$和$L$的一一映射。
$re{p}_S(n)$：整数到单词的映射，代表$n+1$大的单词。
$va{l}_S(w)$：单词到整数的映射：如果$w$是第$n+1$大的单词，那么$va{l}_S(w)=n$。

如上图，易见$re{p}_S(4)=ab$，$va{l}_S(aba)=12$。
对于$re{p}_S(k)$和$va{l}_S(k)$，可以通过贪心算法构造出来。
更一般地，对于$\forall k\in K$，通过$L_k$构造出来新的代数系统$S_k=(L_k,\sum ,<)$，相应的函数则为$re{p}_{S_k}$和$va{l}_{S_k}$，在不混淆的情形下，大写的$S$可以被省略。
$u_l(k)$：$u_l(k)=\#(L_k\cap {\sum }^l)$，实际上就是所有从状态$k$出发通过$l$次转移正好被接收的单词的数量。
$v_l(k)$：$v_l(k)={\sum }_{i=0}^l{u}_l(k)$，实际上就是所有从状态$k$出发在$l$次转移之内被接受的单词的数量。
特别地，对于$u_l(s)$和$v_l(s)$在不至引起混淆的情形下可以简写为$u_l$和$v_l$。

定理1：如果$\sigma w\in L_k$，并且满足$\sigma \in \sum$，$w\in {\sum }^{+}$，那么$va{l}_k(\sigma w)=va{l}_{k.\sigma }(w)+v_{|w|}(k)-v_{|w|-1}(k.\sigma )+{\sum }_{{\sigma }^{{}^{\prime }}<\sigma }{u}_{|w|}(k.{\sigma }^{{}^{\prime }})$
证明：选取第一个字符$c\in \sum$，若字符$c=\sigma$为第一项，若字符$c<\sigma$且长度为$|w|+1$为第四项，若长度小于$|w|+1$的为第二项，容斥掉$c=\sigma$并且长度小于$|w|+1$的重复的一部分。

定理2：如果$\sigma \in \sum$，那么$va{l}_k(\sigma )=u_0(k)+{\sum }_{{\sigma }^{{}^{\prime }}<\sigma }{u}_0(k.{\sigma }^{{}^{\prime }})$
证明：比较显然。

通过定理1和定理2，可以得到对于$w=w_l...w_1\in L_k$，可以得到以下的公式：
$va{l}_k(w)=v_{l-1}(k)+{\sum }_{\sigma <w_l}{u}_{l-1}(k.\sigma )+...+{\sum }_{\sigma <w_2}{u}_1(k.w_l...w_3\sigma )-v_0(k.w_l...w_2)+va{l}_{k.w_l...w_2}(w_1)$

推论1：把原式转化成一个更简的形式有：
$va{l}_k(w)={\sum }_{q\in K}{\sum }_{i=1}^{|w|-1}{\beta }_{q,i}(k,w)u_i(q)$
其中${\beta }_{q,i}(k,w)$是一个常数，它的大小不超过$\#\sum +{\delta }_{k,q}$

3.无穷单词
${\sum }^w$：定义为无穷长度正则表达式的集合。

子串：对于单词$w=w_0{w}_1...w_{|w|-1}$，如果$0<l\le r<|w|$，那么$w[l,r]$就称为是$w$的一个子串。

极限：
如果某个单词序列$w_n\in {\sum }^{\ast }$满足$\forall l\in N,\exists N\in N,\forall n>N,w_n[0,l]=w[0,l]$。记为$li{m}_{n\to \infty }{w}_n=w$。
具体地说：对于任意长度的前缀，都满足存在一个自然数$N$，并且这个序列存在$n$，使得$n\ge N$的$w_n$都和$w$相同，那么$w_n\to w$。

另外一种定义极限的方法是定义两个串$x$和$y$的距离$d(x,y)$。
$d(x,y)=2^{-n},n=inf\{j:x[j,j]\ne y[j,j],(x\ne y)$
$d(x,y)=\infty ,(x=y)$
然后对于所有的有限单词$x$都定义为$x{\tau }^w,\tau \notin \sum$，那么$w_n$收敛于$w$就对应为拓扑空间$(\sum \cup \{\tau \}{)}^w$上$w_n$的极限为$w$。

如果$L$是一个语言。
定义$L_{\infty }$是有无穷多个前缀在$L$中的无穷单词的集合，$L_{\infty }=\{w\in {\sum }^w|{\exists }^{w}n:w[0,n]\in L\}$，这里${\exists }^w$代表存在无穷多个$n$。
定义${\mathcal{L}}_{\infty }=\{w\in {\sum }^w|\exists (w_n{)}_{n\in N}\in L^N:li{m}_{n\to \infty }{w}_n=w\}$
注意到有$L_{\infty }\subset {\mathcal{L}}_{\infty }$

一些问题

分别要解决以下问题：
$1.$ $L_{\infty }$和${\mathcal{L}}_{\infty }$的不可数性。
$2.$ 极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{va{l}_S(w_n)}{v_{|w_n|}}$的存在性。

$L_{\infty }$和${\mathcal{L}}_{\infty }$的不可数性

$1.1$ ${\mathcal{L}}_{\infty }$的不可数性。
如果可以从$s$到状态$k$，那么说这个状态是$accessible$的。如果可以从状态$k$到$F$，那么说这个状态是$coaccessible$的。
定理3：集合${\mathcal{L}}_{\infty }$是不可数的当且仅当$DFA$上存在两个互异的环$(p_1,....p_r,p_1)$和$(q_1,...q_t,q_1)$满足以下的条件：
$1.$ $p_1=q_1$，
$2.$ $\{p_1,....,p_r,q_1,...,q_t\}$存在一个$accessible$的状态，
$3.$ $\{p_1,....,p_r,q_1,...,q_t\}$存在一个$coaccessible$的状态。
证明：
充分性：定义$c$是$accessible$，$d$是$coaccessible$，显然存在$w,w^{{}^{\prime }}$使得$s.w=c$并且$d.w^{{}^{\prime }}\in F$，并且定义$y_0,y_1$分别为$(p_1,p_2...p_r,p_1)$,$(q_1,q_2...q_t,q_1)$的路径，显然可以构造出一个序列$wx{y}_{f(0)}{y}_{f(1)}....y_{f(i)}{x}^{{}^{\prime }}{w}^{{}^{\prime }}$，对于$f\ne g$，有$y_f\ne y_g$，本质上是一个实数的二进制表示，所以是不可数的。充分性得证。
必要性：假设任何一个状态转移的路径从$s$开始到$F$中某一个结束，最多只会属于一个环。换句话说，如果$xyz\in L$，满足$s.x$属于环$(s.x,p_2,...p_r,s.x)$，$s.xy$属于环$(s.xy,q_2,...qt)$，并且这两个环没有任何交集。
$L$可以写成以下的形式:
${\lambda }_1{\mu }_1^{\ast }{\lambda }_2{\mu }_2^{\ast }...{\lambda }_j{\mu }_j^{\ast }{\lambda }_{j+1}$，${\lambda }_i,{\mu }_i\in {\sum }^{\ast }$.
那么对于$m\in {\mathcal{L}}_{\infty }$，按照定义它应该有无穷多个公共前缀，那么这些前缀应该是以下的形式之一：
${\lambda }_1{\mu }_1^w,{\lambda }_1{\mu }_1^{n_1}{\lambda }_2{\mu }_2^w,...,{\lambda }_1{\mu }_1^{n_1}{\lambda }_2{\mu }_2^{n_2}...{\mu }_{j-1}^{n_{j-1}}{\lambda }_j{\mu }_j^w$，$n_1,....,n_{j-1}\in N$
这个序列是可数的，这和${\mathcal{L}}_{\infty }$不可数是矛盾的，所以假设不成立。必要性得证。

$1.2$ $L_{\infty }$的不可数性。
定理4：集合$L_{\infty }$是不可数的当且仅当$DFA$上存在两个互异的环$(p_1,....p_r,p_1)$和$(q_1,...q_t,q_1)$满足以下的条件：
$1.$ $p_1=q_1$，
$2.$ $\{p_1,....,p_r,q_1,...,q_t\}$存在一个$accessible$的状态，
$3.$ 存在$i\le r,j\le t$使得$p_i$和$q_j$都是终态。
证明和定理3是类似的，只是这里的条件有所加强，因为$L_{\infty }$要满足对任意长度的前缀都成立，因此终态必须要落在环上。另外特别的，当$i=j=1$的时候，就只有一个终态。

基本假设

注意到$u_n(q)$是一个常系数线性递归方程的解，所以$u_n(q)$存在一个通解，使得$u_n(q)={\sum }_{i=1}^r{P}_i(n){\mu }_i^n$。其中$P_i$是一个多项式，而${\mu }_i$是一个复数。
这里先预先给出了一些假设。
假设${\mu }_1$是一个实数并且满足${\mu }_1>ma{x}_{i=2...r}\{|{\mu }_i|,1\}$，并且定义多项式$P_1$的度数是$d$。那么显然对于$u_n(q)$，极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{n^d{\mu }_1^n}$存在。
（ 同时也观察到如果$ma{x}_{i=1...r}|{\mu }_i|$是小于$1$的话，那么$u_n(q)$是趋于$0$的，对于足够大的$n$，$u_n(q)=0$，但此时${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{n^d{\mu }_1^n}$，一个典型的反例就是如果存在$j>1$，使得$|{\mu }_1|=....=|{\mu }_j|>ma{x}_{i=j+1,...,r}|{\mu }_i|$，有可能会出现振荡间断而不存在极限。）

假设：集合${\mathcal{L}}_{\infty }$对于所有状态$q$都是不可数的，当且满足以下的条件之一：
(1)：$\exists N_q\in \mathbb{N}:\forall n>N_q，u_n(q)=0$
(2)：$\exists {\theta }_q\ge 1,P_q(x)\in \mathbb{R}[x],b_q>0:{\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{P_q(n){\theta }_q^n}=b_q$
记号：由于讨论的是${\mathcal{L}}_{\infty }$，对于$q=s$的情形，必定不会出现$(1)$这种情形，这里用$\theta ,P,a_s$分别指代$\theta ,P_s,b_s$。
结论1：对于$(2)$中的每个状态$q$，要么${\theta }_q<\theta$或者${\theta }_q=\theta 并且d(P_q)\le d(P)$。简单地说，就是$u_q(n)$一定会被$u_s(n)$所限制。
证明：假设存在${\theta }_q>1并且P_q(x)\in \mathbb{R}[x]$使得${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{P_q(n){\theta }_q^n}=b_q$，并且$\frac{P_q(n){\theta }_q^n}{P(n){\theta }^n}$是不收敛的。
因为存在常数$i$使得$u_n(s)>u_{n-i}(q)$。
所以$\frac{u_n(s)}{P_q(n){\theta }_q^n}\ge \frac{u_{n-i}(q)}{P_q(n-i){\theta }_q^{n-i}}\frac{1}{{\theta }_q^i}\frac{P_q(n-i)}{P_q(n)}\to \frac{b_q}{{\theta }_q^i}>0$
然而$\frac{u_n(s)}{P_q(n){\theta }_q^n}=\frac{u_n(s)}{P(n){\theta }^n}\frac{P(n){\theta }^n}{P_q(n){\theta }_q^n}$是趋于$0$的
这两者是矛盾的，因此假设不成立。

结论2：对于每个$q$极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{P(n){\theta }^n}$都是存在的，并且把这个极限记为$a_q$。
实际上，$\frac{u_n(q)}{P(n){\theta }^n}=\frac{u_n(q)}{P_q(n){\theta }_q^n}\frac{P_q(n){\theta }_q^n}{P(n){\theta }^n}$
前面一部分就是$b_q$，后面一部分由上面证明要么就是分子低阶，极限就是$0$，要么就是同阶，$a_q$就是$b_q$乘上一个常数，这里不多赘述。

一些极限

根据前文，${\lim }_{n\to \infty }\frac{va{l}_S(w_n)}{v_{|w_n|}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{i=0}^n{\beta }_{q,n-i}(w)u_i(q)}{v_n(s)}$
定理5：如果$q$是$M_l$的一个状态且有$a_q>0$，那么有：
(1)：$\frac{{\sum }_{i=0}^n{u}_i(q)}{{\sum }_{i=0}^n{u}_i(s)}=\frac{a_q}{a_s}$
(2)：$\frac{u_n(q)}{{\sum }_{i=0}^n{u}_i(q)}=\frac{\theta -1}{\theta }$
(3)：${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{i=0}^n{\beta }_{q,n-i}{u}_i(q)}{u_n(q)}={\sum }_{j=0}^{\infty }{\beta }_{q,j}{\theta }^{-j}$
证明：
第一步：$a_q>0$：
记$P$的度为$r$，有$P=\alpha n^r+Q(n)$，显然$d(Q(n))<r$并且$\alpha >0$，那么存在：
$\frac{u_n(q)}{\alpha n^r{\theta }^n}-\frac{u_n(q)}{P(n){\theta }^n}=\frac{u_n(q)Q(n)}{P(n){\theta }^n\alpha n^r}\to 0$
因为有$\frac{u_n(q)}{P(n){\theta }^n}\to a_q$
改写为${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n(q)}{n^r{\theta }^n}=a_q$
对状态$p\in \{q,s\}$，一定存在$({\alpha }_{p,n})$收敛到$1$，满足$u_n(p)={\alpha }_{p,n}{a}_p{n}^r{\theta }^n$。而且对于$k>1$，一定存在$K>1$使得，当$n>K$一定有${\alpha }_{s,n},{\alpha }_{q,n}\in [1-\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}]$
$(1),(2)$易证。
现在证明$(3)$：
令$z_n=\frac{{\sum }_{i=0}^n{\beta }_{q,n-i}{u}_i(q)}{u_n(q)}$.
对于$ϵ>0$，我们给出$z_n$的一个上界。
$z_n\le \frac{{\sum }_{i=0}^K{\beta }_{q,n-i}{u}_i(q)}{u_n(q)}+\frac{a_q{\sum }_{i=K+1}^n{\beta }_{q,n-i}{\alpha }_{q,i}{i}^r{\theta }^i}{a_q{\alpha }_{q,n}{n}^r{\theta }^n}$
$\le \frac{k+1}{k-1}{\sum }_{i=K+1}^n{\beta }_{q,n-i}(\frac{i}{n}{)}^r{\theta }^{i-n}+\frac{{\sum }_{i=0}^K{\beta }_{q,n-i}{u}_i(q)}{u_n(q)}$
${\sum }_{i=K+1}^n{\beta }_{q,n-i}(\frac{i}{n}{)}^r{\theta }^{i-n}={\sum }_{i=0}^{n-K-1}{\beta }_{q,i}(1-\frac{i}{n}{)}^r{\theta }^{-i}={\sum }_{i=0}^{n-K-1}{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}+{\sum }_{j=1}^r{C}_r^j{n}^{-j}{\sum }_{i=0}^{n-K-1}{\beta }_{q,i}(-i{)}^j{\theta }^{-i}$。
对于第二项：我们注意到级数${\sum }_{i=0}^{\infty }{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}$是连续可微并且可以逐项微分。
所以有$(\theta \frac{\theta }{d\theta }{)}^j{\sum }_{i=0}^{\infty }{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}={\sum }_{i=0}^{\infty }{\beta }_{q,i}(-i{)}^j{\theta }^{-i}$，显然左边式子是收敛的。
可以发现小于等于号右边全部收敛。
对于$ϵ>0$，我们给出$z_n$的一个下界。
$z_n\ge (1-\frac{2}{k+1}){\sum }_{i=0}^{n-K-1}{\beta }_{q,i}(1-\frac{i}{n}{)}^r{\theta }^{-i}\ge {\sum }_{i=0}^n{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}-{\sum }_{i=n-k}^n{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}+{\xi }_n-\frac{2}{k+1}{\sum }_{i=0}^{\infty }{\beta }_{q,i}{\theta }^{-i}-\frac{2{\xi }_n}{k+1}$，
同样也是收敛的，结论得到证明。

定理6：${\lim }_{n\to \infty }\frac{v_{n-1}(s)}{v_n(s)}=\frac{1}{\theta }$
证明：$\frac{v_{n-1}(s)}{v_n(s)}=1-\frac{u_n(s)}{v_n(s)}\to 1-\frac{\theta -1}{\theta }$

定理7：${\lim }_{n\to \infty }\frac{va{l}_S(w_n)}{v_{|w_n|}}=\frac{\theta -1}{{\theta }^2}{\sum }_{q\in K}\frac{a_q}{a_s}{\sum }_{j=0}^{\infty }{\beta }_{q,j}{\theta }^{-j}$
证明：${\sum }_{q\in Q}\frac{{\sum }_{i=0}^{|w_n|-1}{\beta }_{q,|w_n|-i-1}{u}_i(q)}{u_{|w_n|-1}(q)}\frac{u_{|w_n|-1}(q)}{{\sum }_{i=0}^{|w_n|-1}{u}_i(q)}\frac{{\sum }_{i=0}^{|w_n|-1}{u}_i(q)}{{\sum }_{i=0}^{|w_n|-1}{u}_i(s)}\frac{{\sum }_{i=0}^{|w_n|-1}{u}_i(s)}{{\sum }_{i=0}^{|w_n|}{u}_i(s)}$
应用定理5和定理6即可证明。

综上所述，证明了极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{va{l}_S(w_n)}{v_{|w_n|}}$的存在性。