第2章 第4节 收敛准则

4、收敛数列

收敛数列有界，有界数列不一定收敛

问题

（1）有界数列加上什么条件可得证收敛？

（2）有界数列不加其他条件，可得到什么结论？

定理 2.4.1 单调有界数列必定收敛

证明：

设单调增加，有上界，则：
以为集合的数集必有上确界，记上确界为有：
(1)是上界,
(2)是最小上界，即使得。
取：（因为单调增加，所以）
由上式可得：
即：

定理意义

证明：
：

问题

例 2.4.1

设
求证：数列收敛，并求极限

解：（由数学归纳法得）


与同号说明是单调数列收敛（满足单调有界）
设
由
对等式两边同时求极限，得：

解得：

因为
所以

例 2.4.2

设
求证：收敛，并求极限

解：
由数学归纳法，可知：（有界）

有下界
所以收敛
设
由
对上式左右两边同时求极限，得：

所以极限为0
考虑：


说明：

例 2.4.3

求证：收敛，并求极限

解：
已知
设，则：

有数学归纳法得：对一切n成立。

所以有上界

例 2.4.4

Fibonacci数列：
在第个季度，对兔子能产下小兔。

令表示在第n+1季度兔对总数的增长率
讨论数列：

等式两边同时求极限
令
令
不单调！
将分成两个子数列

所以

所以
设
等式两边同时求极限
解得：
等式两边同时求极限
解得：
所以：
对于
所以：

与

——圆周率，圆周长与直径之比

单位圆

圆的逼近

单位圆周长
单位圆面积
单位圆正 边形的周长为：
设半周长为

例2.4.5

证明收敛.

证：
令当时，


代入：


内接正n边形的面积：

有上界.
所以：收敛。

关于单位圆面积

设：
单位圆的面积为：.
单位圆的外切n边形的面积为：

例题 2.4.6

考虑

得到：
收敛收敛
又因为：
所以：

定义

自然对数，称为自然对数的底数

例 2.4.7

令

证明：当时，收敛；时，发散到

所以 有上界，
所以收敛。

没有上界
所以：
特别提出：

（调和级数）

例 2.4.8

解：

两边同时求对数


;

有下界;
所以：收敛.
设它的极限为

例 2.4.9

证明

证：



所以：

例 2.4.10

解：




所以：

所以：

定义 2.4.1

满足：

（1）

（2）

定理 2.4.2 闭区间套定理

若是一个闭区间套，则存在惟一的实数属于一切闭区间且

证明：

有上界有下界

即属于每一个
若另有由
由数列极限的夹逼性质可知：

定理 2.4.3 实数集不可列

证明：

反证法：
假设可列：即可以找到一种排列的规则，使得
先取
将其中必有一个区间不包含
将其中必有一个区间不包含

得到了一个闭区间套则必有
于是
所以：不可列。