递归-欧几里得算法

注：本文核心部分全部转自leader_one的文章，这里表示十分感谢，这里主要记录学习过程供以后复习！
leader_one：https://blog.csdn.net/leader_one/article/details/75222771

算法描述：
欧几里德算法（Euclidean Algorithm）又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数，gcd(a,b )表示a和b的最大公约数（gcd = greatest common divisor），常用于数学和计算机两个领域。

公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) （mod为取余）
条件：a、b为正整数 （当a%b=0时终止，且此时b为原a,原b的最大公约数）

举个简单例子，求26，42的最大公约数
gcd(42, 26) = gcd(26, 16) = gcd(16, 10) = gcd(10, 6) = gcd(6, 4) =
gcd(4, 2) = gcd(2, 0) = 2

得到26， 42的最大公约数为2

分解质因数也可以看出：
26 = 2 * 13
42 = 2 * 3 * 7

本人不是学数学的，自己不容易证出公式（学生时代也许可以），这里leader_one写的能看懂，搬过来了。

定理证明：
欧几里得有个非常强的定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，让我们来证明一下（mod 是取余，gcd是最大公约数，| 是能整除）

假设a、b的公约数为k，a = bx + y
则 k | a，k | b，a mod b=y
因为 k | b，所以 k |bx，又因为 k | a，所以 k | (a - bx)，即 k | y
而a mod b = y，所以 k | a mod b

再假设b、a mod b的公约数为kk，同理得 kk | a

所以（a，b）和（b，a mod b）的公约数是相同的，所以它们的最大公约数也是相同的
所以gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

时间复杂度（讨论情况为a>=b）
a mod b必然是小于a/2的（本人比较笨，这个地方分0），而上一次的b会变成下一次的a，上一次的a mod b会变成下一次的b，最坏情况也就是b在a/2附近，即a mod b在a/2附近。在最坏情况时每次的值也会减少一半，所以说时间复杂度是O（log n）的。（实际中往往会更低）

算法实现：

非递归：
int gcd(int a, int b)
{
	Int tmp;

	while(b!=0){
		tmp = a % b;
		a = b;
		b = tmp;
	}
	return a;
}

递归：
int gcd(int a, int b)
{
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return gcd(b, a%b);
}

总结：
在看算法图解（最最最最最基础的一本）时看到递归内容时才了解到欧几里得算法，于是便学习了下。使用递归解决问题时包括2个步骤：
1、 找出基线条件，这种条件必须尽可能的简单
2、 不断的将复杂问题分解（或者叫缩小规模），直到符合基线条件

这里 a % b = 0 即为基线条件，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)不断迭代即为缩小规模。