递归-欧几里得算法

注:本文核心部分全部转自leader_one的文章,这里表示十分感谢,这里主要记录学习过程供以后复习!
leader_one:https://blog.csdn.net/leader_one/article/details/75222771

算法描述:
欧几里德算法(Euclidean Algorithm)又称辗转相除法,是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数,gcd(a,b )表示a和b的最大公约数(gcd = greatest common divisor),常用于数学和计算机两个领域。

公式:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (mod为取余)
条件:a、b为正整数 (当a%b=0时终止,且此时b为原a,原b的最大公约数)

举个简单例子,求26,42的最大公约数
gcd(42, 26) = gcd(26, 16) = gcd(16, 10) = gcd(10, 6) = gcd(6, 4) =
gcd(4, 2) = gcd(2, 0) = 2

得到26, 42的最大公约数为2

分解质因数也可以看出:
26 = 2 * 13
42 = 2 * 3 * 7

本人不是学数学的,自己不容易证出公式(学生时代也许可以),这里leader_one写的能看懂,搬过来了。

定理证明:
欧几里得有个非常强的定理,即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),让我们来证明一下(mod 是取余,gcd是最大公约数,| 是能整除)

假设a、b的公约数为k,a = bx + y
则 k | a,k | b,a mod b=y
因为 k | b,所以 k |bx,又因为 k | a,所以 k | (a - bx),即 k | y
而a mod b = y,所以 k | a mod b

再假设b、a mod b的公约数为kk,同理得 kk | a

所以(a,b)和(b,a mod b)的公约数是相同的,所以它们的最大公约数也是相同的
所以gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

时间复杂度(讨论情况为a>=b)
a mod b必然是小于a/2的(本人比较笨,这个地方分0),而上一次的b会变成下一次的a,上一次的a mod b会变成下一次的b,最坏情况也就是b在a/2附近,即a mod b在a/2附近。在最坏情况时每次的值也会减少一半,所以说时间复杂度是O(log n)的。(实际中往往会更低)

算法实现:

非递归:
int gcd(int a, int b)
{
	Int tmp;

	while(b!=0){
		tmp = a % b;
		a = b;
		b = tmp;
	}
	return a;
}
递归:
int gcd(int a, int b)
{
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return gcd(b, a%b);
}

总结:
在看算法图解(最最最最最基础的一本)时看到递归内容时才了解到欧几里得算法,于是便学习了下。使用递归解决问题时包括2个步骤:
1、 找出基线条件,这种条件必须尽可能的简单
2、 不断的将复杂问题分解(或者叫缩小规模),直到符合基线条件

这里 a % b = 0 即为基线条件,gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)不断迭代即为缩小规模。

你可能感兴趣的:(数据结构与算法,递归,欧几里得算法)