算法：0-1背包

问题描述

问题分析

该问题能否用动态规划来解决，先来看一下是否具有最优子结构（后免得最优解能否用到前面的最优解答案）：

• 物品种类：n （假设每种物品只有一个）
• 购物车可容纳重量：W
• 每个物品重量：w[i]
• 每个物品价值：v[i]

①将购物车分成两部分：可使用容量（Wa）和未使用容量（Wb）
②逐步增加（+1）Wa，直到达到Wa=购物车总容量：W（Wb=0）
③逐步增加物品的种类w[i] ，判断Wa当中是否有剩余容量放入该物品，（这里是体现最优子结构的地方，也是最难理解的地方）

i表示行数，代表物品种类数
j表示列数，代表购物车可用容量
c[i][j]表示在容量为j，物品数为i的情况下，当前能装入的最大价值是多少

距离来说明这两种情况：
c[i][j]=c[i-1][j] ,j

下面这种情况就要做一个比较判断，当前容量可以塞进一个新物品，但是塞进这个物品可能会拿出其他的物品，所以要判断拿上这个物品总价值高，还是不拿高。
举例说明：
当前容量为2，
已装入重量为w[0]=1，价值为v[0]=2的物品，c[1][1]=2，

注意c[1][2]=2，因为只有这一种物品，而且只有一个

此时有新物品可以选择，他的重量为w[1]=2：
如果v[1]=1，那么我们应该只装入w[0]=1的物品，这样价值是最大的，即c[2][2]=c[1][2]=2；
如果v[1]=5,那么就可以毫不留情的抛弃掉w[0]，直接装入w[1]，即c[2][2]=c[i-1][j-w[i]]+v[i]=c[1][0]+5=5

注意初始化的时候要多加一行一列，并且赋值为0：c[0][j]=0：没有物品，所以总价值为0,c[i][0]=0：没有容量，所以总价值为0

算法设计

代码

int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
    // vector 全填入 0，base case 已初始化
    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int w = 1; w <= W; w++) {
            if (w - wt[i-1] < 0) {
                // 当前背包容量装不下，只能选择不装入背包
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                // 装入或者不装入背包，择优
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
                               dp[i - 1][w]);
            }
        }
    }

    return dp[N][W];
}

总结

0-1背包问题，无非就是状态转移+如何选择的问题，只要能找到递推公式，就比较好办了。